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一、基础知识

1.二次函数:当0时,y=ax2+bx+cf(x)=ax2+bx+c称为关于x的二次函数,其对称轴为直线x=-,另外配方可得f(x)=a(x-x0)2+f(x0),其中x0=-,下同。

2.二次函数的性质:当a>0时,f(x)的图象开口向上,在区间(-∞,x0]上随自变量x增大函数值减小(简称递减),在[x0, -∞)上随自变量增大函数值增大(简称递增)。当a<0时,情况相反。

3.当a>0时,方程f(x)=0ax2+bx+c=0…①和不等式ax2+bx+c>0…②及ax2+bx+c<0…③与函数f(x)的关系如下(记=b2-4ac)。

1)当>0时,方程①有两个不等实根,设x1,x2(x1<x2),不等式②和不等式③的解集分别是{x|x<x1x>x2}{x|x1<x<x2},二次函数f(x)图象与x轴有两个不同的交点,f(x)还可写成f(x)=a(x-x1)(x-x2).

2)当=0时,方程①有两个相等的实根x1=x2=x0=,不等式②和不等式③的解集分别是{x|x}和空集f(x)的图象与x轴有唯一公共点。

3)当△<0时,方程①无解,不等式②和不等式③的解集分别是R.f(x)图象与x轴无公共点。

a<0时,请读者自己分析。

4.二次函数的最值:若a>0,当x=x0时,f(x)取最小值f(x0)=,a<0,则当x=x0=时,f(x)取最大值f(x0)=.对于给定区间[m,n]上的二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),当x0∈[m, n]时,f(x)[m, n]上的最小值为f(x0); x0<m时。f(x)[m, n]上的最小值为f(m);当x0>n时,f(x)[m, n]上的最小值为f(n)(以上结论由二次函数图象即可得出)。

定义能判断真假的语句叫命题,如“3>5”是命题,“萝卜好大”不是命题。不含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题叫做简单命题,由简单命题与逻辑联结词构成的命题由复合命题。

pq”复合命题只有当pq同为假命题时为假,否则为真命题;“pq”复合命题只有当pq同时为真命题时为真,否则为假命题;p与“非p”即“p”恰好一真一假。

定义原命题:若pqp为条件,q为结论);逆命题:若qp;否命题:若非pq;逆否命题:若非q则非p

原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。

反证法的理论依据是矛盾的排中律,而未必是证明原命题的逆否命题。

定义如果命题“若pq”为真,则记为pq否则记作pq.在命题“若pq”中,如果已知pq,pq的充分条件;如果qp,则称pq的必要条件;如果pqqp,则称pq的充分非必要条件;如果pqpq,则p称为q的必要非充分条件;若pqqp,则pq的充要条件。

二、方法与例题

1.待定系数法。

设方程x2-x+1=0的两根是α,β,求满足f(α)=β,f(β)=α,f(1)=1的二次函数f(x).

【解】  f(x)=ax2+bx+c(a0),

则由已知f(α)=β,f(β)=α相减并整理得(α-β)[(α+β)a+b+1]=0

因为方程x2-x+1=0中△0

所以αβ,所以(α+β)a+b+1=0.

又α+β=1,所以a+b+1=0.

又因为f(1)=a+b+c=1

所以c-1=1,所以c=2.

b=-(a+1),所以f(x)=ax2-(a+1)x+2.

再由f(α)=β得aα2-(a+1)α+2=β,

所以aα2-aα+2=α+β=1,所以aα2-aα+1=0.

a(α2-α+1)+1-a=0,1-a=0

所以a=1,

所以f(x)=x2-2x+2.

2.方程的思想。

已知f(x)=ax2-c满足-4f(1)-1, -1f(2)5,求f(3)的取值范围。

【解】  因为-4f(1)=a-c-1,

所以1-f(1)=c-a4.

-1f(2)=4a-c5, f(3)=f(2)-f(1),

所以×(-1)+f(3)×5+×4,

所以-1f(3)20.

3.利用二次函数的性质。

已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R, a0),若方程f(x)=x无实根,求证:方程f(f(x))=x也无实根。

【证明】若a>0,因为f(x)=x无实根,所以二次函数g(x)=f(x)-x图象与x轴无公共点且开口向上,所以对任意的x∈R,f(x)-x>0f(x)>x,从而f(f(x))>f(x)

所以f(f(x))>x,所以方程f(f(x))=x无实根。

注:请读者思考例3的逆命题是否正确。

4.利用二次函数表达式解题。

设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程f(x)=x的两根x1, x2满足0<x1<x2<,

(Ⅰ)当x∈(0, x1)时,求证:x<f(x)<x1

(Ⅱ)设函数f(x)的图象关于x=x0对称,求证:x0<

【证明】 因为x1, x2是方程f(x)-x=0的两根,所以f(x)-x=a(x-x1)(x-x2)

f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x.

(Ⅰ)当x∈(0, x1)时,x-x1<0, x-x2<0, a>0,所以f(x)>x.

其次f(x)-x1=(x-x1)[a(x-x2)+1]=a(x-x1)[x-x2+]<0,所以f(x)<x1.

综上,x<f(x)<x1.

(Ⅱ)f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x=ax2+[1-a(x1+x2)]x+ax1x2,

所以x0=,

所以

所以

5.构造二次函数解题。

已知关于x的方程(ax+1)2=a2(a-x2), a>1,求证:方程的正根比1小,负根比-1大。

【证明】  方程化为2a2x2+2ax+1-a2=0.

构造f(x)=2a2x2+2ax+1-a2,

f(1)=(a+1)2>0, f(-1)=(a-1)2>0, f(0)=1-a2<0, >0

所以f(x)在区间(-1,0)和(01)上各有一根。

即方程的正根比1小,负根比-1大。

6.定义在区间上的二次函数的最值。

x取何值时,函数y=取最小值?求出这个最小值。

【解】 y=1-,u,0<u1

y=5u2-u+1=5,

且当x=3时,ymin=.

设变量x满足x2+bx-x(b<-1),并且x2+bx的最小值是,求b的值。

【解】  x2+bx-x(b<-1),得0x-(b+1).

)--(b+1),即b-2时,x2+bx的最小值为-,所以b2=2,所以(舍去)。

) ->-(b+1),即b>-2时,x2+bx[0-(b+1)]上是减函数,

所以x2+bx的最小值为b+1,b+1=-,b=-.

综上,b=-.

7.一元二次不等式问题的解法。

已知不等式组  ①②的整数解恰好有两个,求a的取值范围。

【解】  因为方程x2-x+a-a2=0的两根为x1=a, x2=1-a,

a0,则x1<x2.①的解集为a<x<1-a,由②得x>1-2a.

因为1-2a1-a,所以a0,所以不等式组无解。

a>0,ⅰ)当0<a<时,x1<x2,①的解集为a<x<1-a.

因为0<a<x<1-a<1,所以不等式组无整数解。

ⅱ)当a=时,a=1-a,①无解。

ⅲ)当a>时,a>1-a,由②得x>1-2a

所以不等式组的解集为1-a<x<a.

又不等式组的整数解恰有2个,

所以a-(1-a)>1a-(1-a)3

所以1<a2,并且当1<a2时,不等式组恰有两个整数解01

综上,a的取值范围是1<a2.

8.充分性与必要性。

设定数ABC使得不等式

A(x-y)(x-z)+B(y-z)(y-x)+C(z-x)(z-y)0   

对一切实数x,y,z都成立,问ABC应满足怎样的条件?(要求写出充分必要条件,而且限定用只涉及ABC的等式或不等式表示条件)

【解】  充要条件为ABC0A2+B2+C22(AB+BC+CA).

先证必要性,①可改写为A(x-y)2-(B-A-C)(y-z)(x-y)+C(y-z)20  

A=0,则由②对一切x,y,z∈R成立,则只有B=C,再由①知B=C=0,若A0,则因为②恒成立,所以A>0=(B-A-C)2(y-z)2-4AC(y-z)20恒成立,所以(B-A-C)2-4AC0,即A2+B2+C22(AB+BC+CA)

同理有B0C0,所以必要性成立。

再证充分性,若A0B0C0A2+B2+C22(AB+BC+CA)

1)若A=0,则由B2+C22BC(B-C)20,所以B=C,所以=0,所以②成立,①成立。

2)若A>0,则由③知0,所以②成立,所以①成立。

综上,充分性得证。

9.常用结论。

定理a, b∈R, |a|-|b||a+b||a|+|b|.

【证明】  因为-|a|a|a|,-|b|b|b|,所以-(|a|+|b|)a+b|a|+|b|,

所以|a+b||a|+|b|(注:若m>0,则-mxm等价于|x|m.

|a|=|a+b-b||a+b|+|-b|,

|a|-|b||a+b|.综上定理1得证。

定理a,b∈R, a2+b22ab;若x,y∈R+,x+y

(证略)

  定理2可以推广到n个正数的情况,在不等式证明一章中详细论证。

三、基础训练题

1.下列四个命题中属于真命题的是________,①“若x+y=0,则xy互为相反数”的逆命题;②“两个全等三角形的面积相等”的否命题;③“若q1,则x2+x+q=0有实根”的逆否命题;④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题。

2.由上列各组命题构成“pq”,“pq”,“非p”形式的复合命题中,pq为真,pq为假,非p为真的是_________.p3是偶数,q4是奇数;②p:3+2=6,q:p:a∈(a,b),q:{a}{a,b}; p: QR, q: N=Z.

3. |x-2|<a时,不等式|x2-4|<1成立,则正数a的取值范围是________.

4. 不等式ax2+(ab+1)x+b>0的解是1<x<2,则a, b的值是____________.

5. x1x2x-1__________条件,而-2<m<00<n<1是关于x的方程x2+mx+n=0有两个小于1的正根的__________条件.

6.命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的逆命题是_________.

7.S={x|mx2+5x+2=0}的子集至多有2个,则m的取值范围是_________.

8. R为全集,A={x|3-x4}, B=, (CRA)∩B=_________.

9. a, b是整数,集合A={(x,y)|(x-a)2+3b6y},点(21A,但点(10A,(32Aa,b的值是_________.

10.设集合A={x||x|<4}, B={x|x2-4x+3>0},则集合{x|xAxAB}=_________.

11. 求使不等式ax2+4x-1-2x2-a对任意实数x恒成立的a的取值范围。

12.对任意x∈[0,1], ①②成立,求k的取值范围。

四、高考水平训练题

1.若不等式|x-a|<x的解集不空,则实数a的取值范围是_________.

2.使不等式x2+(x-6)x+9>0|a|1时恒成立的x的取值范围是_________.

3.若不等式-x2+kx-4<0的解集为R,则实数k的取值范围是_________.

4.若集合A={x||x+7|>10}, B={x||x-5|<k},且AB=B,则k的取值范围是_________.

5.设a1a2, b1b2, c1c2均为非零实数,不等式a1x2+b1x+c1>0a2x2+b2x+c2>0解集分别为MN,那么“”是“M=N”的_________条件。

6.若下列三个方程x2+4ax-4a+3=0, x2+(a-1)x+a2=0, x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根,则实数a的取值范围是_________.

7.已知p, q都是r的必要条件,sr的充分条件,qs的充分条件,则rq_________条件。

8.已知p: |1-|2, q: x2-2x+1-m20(m>0),若非p是非q的必要不充分条件,则实数m的取值范围是_________.

9.已知a>0f(x)=ax2+bx+c,对任意x∈Rf(x+2)=f(2-x),若f(1-2x2)<f(1+2x-x2),求x 的取值范围。

10.已知a, b, c∈R, f(x)=ax2+bx+c, g(x)=ax+b, |x|1时,|f(x)|1,

(1)求证:|c|1;

(2)求证:当|x|1时,|g(x)|2;

(3)a>0|x|1时,g(x)最大值为2,求f(x).

11.设实数a,b,c,m满足条件:=0,且a0,m>0,求证:方程ax2+bx+c=0有一根x0满足0<x0<1.

五、联赛一试水平训练题

1.不等式|x|3-2x2-4|x|+3<0的解集是_________.

2.如果实数x, y满足:,那么|x|-|y|的最小值是_________.

3.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象经过点(11),(35),f(0)>0,当函数的最小值取最大值时,a+b2+c3=_________.

4. 已知f(x)=|1-2x|, x∈[0,1],方程f(f(f)(x)))=x_________个实根。

5.若关于x的方程4x2-4x+m=0[-11]上至少有一个实根,则m取值范围是_________.

6.若f(x)=x4+px3+qx2+x对一切x∈R都有f(x)xf(1)=1,则p+q2=_________.

7. 对一切x∈Rf(x)=ax2+bx+c(a<b)的值恒为非负实数,则的最小值为_________.

8.函数f(x)=ax2+bx+c的图象如图,且=b-2ac. 那么b2-4ac_________4. (填>=<

9.若a<b<c<d,求证:对任意实数t-1, 关于x的方程(x-a)(x-c)+t(x-b)(x-d)=0都有两个不等的实根。

10.某人解二次方程时作如下练习:他每解完一个方程,如果方程有两个实根,他就给出下一个二次方程:它的常数项等于前一个方程较大的根,x的系数等于较小的根,二次项系数都是1。证明:这种练习不可能无限次继续下去,并求最多能延续的次数。

11.已知f(x)=ax2+bx+c[01]上满足|f(x)|1,试求|a|+|b|+|c|的最大值。

 

六、联赛二试水平训练题

1.设f(x)=ax2+bx+ca,b,c∈R, a>100,试问满足|f(x)|50的整数x最多有几个?

2.设函数f(x)=ax2+8x+3(a<0),对于给定的负数a,有一个最大的正数l(a),使得在整个区间[0l(a)]上,不等式|f(x)|5都成立。求l(a)的最大值及相应a的值。

3.设x1,x2,,xn∈[a, a+1],且设x=, y=, f=y-x2的最大值。

4F(x)=ax2+bx+ca,b,c∈R, |F(0)|1,|F(1)|1,|F(-1)|1,则对于|x|1,求|F(x)|的最大值。

5.已知f(x)=x2+ax+b,若存在实数m,使得|f(m)|,|f(m+1)|,=a2-4b的最大值和最小值。

6.设二次函数f(x)=ax2+bx+c (a,b,c∈R, a0)满足下列条件:

1)当x∈R时,f(x-4)=f(2-x),且f(x)x

2)当x∈(0, 2)时,f(x);

3f(x)R上最小值为0

求最大的m(m>1),使得存在t∈R,只要x∈[1, m]就有f(x+t)x.

7.求证:方程3ax2+2bx-(a+b)=0(b0)(0,1)内至少有一个实根。

8.设a,b,A,B∈R+, a<A, b<B,若n个正数a1, a2,,an位于aA之间,n个正数b1, b2,,bn位于bB之间,求证:

9.设a,b,c为实数,g(x)=ax2+bx+c, |x|1,求使下列条件同时满足的a, b, c的值:

(ⅰ)=381;

(ⅱ)g(x)max=444;

(ⅲ)g(x)min=364.

 

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