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  《义务教育课程标准实验教科书·数学》七年级下册上接七年级上册4章内容,全书包括6章,共61课时,供七年级下学期使用。具体内容如下: 

 

  相交线与平行线(15课时)

 

  主要内容:

 

  1.两条直线相交所成的角的位置及大小关系(邻补角、对顶角);

 

  2.两条直线平行的判定及性质;

 

  3.平移及其基本性质。

 

  第六章平面直角坐标系(8课时)

 

  主要内容:

 

  1.有序数对与平面直角坐标系;

 

  2.坐标方法的简单应用。

 

  第七章三角形(9课时)

 

  主要内容:

 

  1.三角形的边、高、中线和角分线,三角形的稳定性;

 

  2.说明三角形内角和等于180成立的道理,三角形的外角及有关结论;

 

  3.多边形的有关概念及其内角和。

 

  第八章二元一次方程组(10课时)

 

  主要内容:

 

  1.二元一次方程组是解决实际问题的一种数学模型;

 

  2.二元一次方程组的有关概念,通过消元解二元一次方程组。

 

  第九章不等式与不等式组(13课时)

 

  主要内容:

 

  1.不等式是解决实际问题的一种数学模型;

 

  2.不等式的有关概念及性质;

 

  3.一元一次不等式(组)的解法。

 

  实数(6课时)

 

  主要内容:

 

  1.算数平方根与平方根;

 

  2.立方根;

 

  3.实数。

  一、教科书内容和课程学习目标

 

  本册书的6章内容涉及《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》中“数与代数”“空间与图形”“实践与综合应用”三个领域,其中“实践与综合应用”以课题学习的形式安排在第七章和第九章,没有“统计与概率”的内容。这6章大体上采用相近内容相对集中的方式安排,前三章基本属于“数与代数”领域,后三章基本属于“空间与图形”领域,这样安排有助于加强知识间的纵向联系。在各章具体内容的编写中,又特别注意加强各领域之间的横向联系。

 

  1.“空间与图形”领域

 

  关于“空间与图形”领域的内容,本册书在七年级上册“图形认识初步”基础上,安排了研究平面内两条直线的位置关系、平面直角坐标系及三角形的内容。

 

  平面内两条直线的位置关系是“空间与图形”所要研究的基本问题。这些内容学生在前两个学段有所接触,第5章“相交线与平行线”在学生已有知识的基础上,继续探究两直线相交所成的邻补角与对顶角的关系;垂直作为两条直线相交的特殊情况,与它有关的概念和结论(如点到直线的距离、垂线段最短等)是学习下一章“平面直角坐标系”的直接基础;平行公理(教科书称“基本事实”)是研究两直线平行的出发点,教科书通过设计一些探究性问题,让学生通过探究活动“发现”两条直线平行的判定与性质,并让学生初步感受推理的作用和意义;本章增加一节新内容“平移”,平移是图形的一种基本变换,平移变换是研究几何问题、发现几何结论的有效手段。教科书将“平移”安排在本章最后一节,一方面是考虑将其作为平行线的一个应用,另一方面考虑引入平移变换,可以尽早渗透图形变换的思想,使学生尽早接触利用平移分析和解决问题的方法。与原教科书相比,本章在内容和要求上都有所变化。在内容选择上,增加了上面提到的有关平移的内容;删掉了原教科书中关于三维空间的内容,对于命题、定理、证明等逻辑知识不再单独设节,也不用大段文字介绍形式逻辑的概念和术语,只是结合具体例子简单介绍命题及其构成,这样安排是希望将有关逻辑的知识随着学习的深入逐渐渗透,在学生接受推理论证训练的过程中逐步认识逻辑知识。

 

  第6章“平面直角坐标系”放在第5章“相交线与平行线”之后,是考虑到在第五章学习了两条直线垂直和平行的内容,知道怎样从直线外一点作已知直线的垂线和平行线,结合以前学过的数轴,就可以学习有关平面直角坐标系的内容。第六章除了介绍与建立平面直角坐标系有关的概念和点与坐标(均为整数)的对应关系外,增加了用坐标表示地理位置和用坐标表示平移的内容。用坐标表示地理位置体现了坐标系在实际中的应用;用坐标表示平移,从数的角度刻画了第五章平移的内容,包括点或图形的平移引起的坐标的变化,以及点或图形顶点的坐标的变化引起的点或图形的平移。通过本章学习学生将会在方格纸中建立平面直角坐标系,会根据坐标描出点的位置,由点的位置写出点的坐标;能建立适当的坐标系描述物体的位置,感受图形的平移与点的坐标的变化。

 

  三角形的内容与原教科书相比,在内容安排上有较大变化。原教科书采用集中处理的办法,就是在“三角形”一章中,把与三角形有关的一些概念,三角形全等,等腰三角形,直角三角形等放在一章集中学习。这套教科书采用分散处理的办法,本册书第7章“三角形”是研究有关三角形内容的第一章,主要学习与三角形有关的线段和有关的角,在后面的几册书中将陆续学习三角形的其他内容,例如三角形全等单设一章学习,等腰三角形放在“轴对称”一章中学习,直角三角形放在“勾股定理”一章中学习等。第7章“三角形”主要研究三角形的边、高、中线、角平分线,三角形的内角、外角,多边形的有关概念及其内角和。教科书在学生已有的对三角形认识的基础上,首先整理了与三角形有关的线段、角,给出它们的符号表示,并从实际问题出发研究三角形的稳定性;通过对三角形内角和等于180的说明,进一步感受推理的作用;三角形是最常见的几何图形,也是最简单的一种多边形,在几何研究中,常常将多边形分割成三角形,利用三角形的性质来研究多边形的问题,本章就采用这种将多边形分割成三角形的方法来研究多边形的内角和。在求多边形内角和的过程中,将使学生感受将未知化为已知的转化思想,以及由特殊到一般的认识问题的方法。本章还安排了一个课题学习“镶嵌”,使学生综合利用所学有关多边形的知识解决实际问题。

 

  2.“数与代数”领域

 

  关于“数与代数”领域的内容,七年级上安排了有理数和一元一次方程,本册书在此基础上安排了实数、二元一次方程组和不等式(组)的内容。

 

  方程和不等式都是解决实际问题的数学模型,方程是解决具有相等关系的数学模型,不等式是解决具有不等关系的数学模型。通过分析实际问题中的数量关系,列出方程或不等式,通过解方程或不等式得到实际问题的答案,这就体现了数学模型的思想。第8章“二元一次方程组”和第9章“不等式与不等式组”都是从丰富的实际问题出发,在分析解决实际问题的过程中,认识二元一次方程组或不等式(组)(主要是一元一次不等式(组)),学习解二元一次方程组或解一元一次不等式(组)的方法,最后再次通过探索实际问题与方程组或不等式(组)的关系,进一步体会它们是解决实际问题的数学模型的思想。从这两章的知识内容角度看,与原教科书没有大的区别,主要是方程组和不等式(组)的有关概念和解法,但教学目标已经由重视方程组和不等式(组)的解法转移到强调它们是解决实际问题的数学模型上来了。通过这两章学习,不仅使学生学会解二元一次方程组和一元一次不等式(组)的方法,更使学生体会方程和不等式是解决实际问题的有效的数学模型。在第9章“不等式与不等式组”还安排一个课题学习“利用不等关系分析比赛”,使学生综合运用模型的思想解决实际问题。

 

  随着无理数的引入,学生对数的认识就由有理数扩充到实数。第10章“实数”从实际问题出发首先介绍算术平方根,让学生感受到无理数是从现实世界抽象出来的一种不同于有理数的数,然后在算术平方根的基础上,研究平方根,进而研究立方根,学习利用乘方与开方互为逆运算、使用计算器以及估算等方法求数的平方根和立方根,并由此将数扩展到实数的范围,研究在实数范围内直线上的点与实数一一对应、平面上的点与有序实数对一一对应、在有理数范围内成立的概念和运算在实数范围内仍然成立,并且可以进行新的运算等。本章内容基本相当于原教材的“数的开方”一章,从内容安排上看,先讲算术平方根,再讲平方根;适当增加了有关实数运算的内容(实数的运算在本套书“二次根式”一章继续学习),说明了平面内点与有序实数对一一对应以及在实数范围内的平移变换等。在教学目标方面,强调所有学生都应使用计算器进行开方运算,加强对估算的要求。

 

  3.加强各领域之间的相互联系

 

  本册书在编写时特别注意加强各领域知识间的相互联系。由于平面直角坐标系的提前引入,加强了各领域之间的联系。比如在第6章“平面直角坐标系”中,安排了用代数方法研究几何的平移的内容;在第8章“二元一次方程组”的“数学活动”中安排了二元一次方程(组)的图象,以及利用二元一次方程组的图象近似估计它的解的内容;在第10章“实数”介绍了在平面直角坐标系中点与有序实数对一一对应的问题,以及在实数范围内讨论用坐标表示平移问题等;在第9章“不等式与不等式组”中安排了三角形中两边之差小于第三边以及利用三角形三边的关系引出不等式组的有关概念等。

 

  二、本书编写特点

 

  1.加强与实际的联系,体现由具体—抽象—具体的认识过程

 

  密切联系实际,体现知识的形成和应用过程,以实际问题为出发点和归宿是编写这套教科书特别关注的问题,也是本册书一个突出的特点。本册书各章内容均注意从实际问题出发,抽象出隐含在实际问题中的数学问题,建立数学模型,通过对数学模型的研究,学习有关的数学概念和方法,并利用所学知识解决更多的实际问题。以“二元一次方程组”为例,编写时改变了原教科书先集中讲概念和解法,最后讲应用的处理办法,而是从实际问题出发,通过分析实际问题中的数量关系,列出二元一次方程组这种数学模型,将有关二元一次方程组的概念、解法与解决实际问题有机地结合起来,并利用这种数学模型解决更多更复杂的实际问题。又如编写“平面直角坐标系”时,改变了原教科书从数学的角度引出坐标系的做法,而是从实际生活中确定物体的位置出发引出坐标系,通过对坐标系的研究,认识坐标系的有关概念和建立坐标系的方法,然后再利用坐标系解决生活中确定地理位置的问题,让学生经历由实际问题抽象出数学问题,通过对数学问题的研究解决实际问题的过程,也就是经历了一个由具体—抽象—具体的认识过程。

 

  再比如,第7章“三角形”的课题学习“镶嵌”,也体现了这样的认识过程。教科书首先从实际生活经常看到地砖铺成的地面出发,提出“这些砖与砖之间为什么能够严丝合缝,把地面全部覆盖”的问题。从数学角度看就是用不重叠摆放的多边形覆盖平面的问题,这样就由实际问题引出数学问题;接着对数学问题进行探讨,从数学的角度分析满足什么条件的一些多边形可以覆盖平面,通过学生观察、试验、讨论等探究活动,得出有关多边形覆盖平面的规律,使这个数学问题得到解决;然后根据这个规律设计镶嵌地板的平面图。这个课题学习使学生经历了“问题情境—建立模型—求解—解释与应用”的过程。

 

  加强与实际的联系,要考虑实际问题的选择。本册书在编写时,力求选取学生感兴趣的和富有时代气息的实际问题,例如图案设计问题、镶嵌问题、体育比赛问题、购物问题、环将保护问题等。由于数学除了要让学生学习数学以外,还承担着对学生进行人文教育的任务,因此在选择实际问题时还特别注意选择具有人文色彩的素材,例如,本册书选择了我国神舟5号载人飞船取得圆满成功的素材,通过这个素材可以使学生从数学的角度更多地了解航天知识,培养学生的民族自豪感和爱国主义情操,激励学生更加努力地学习。

 

  2.注意给学生留出探索和交流的空间,改变学生的学习方式

  强调学生通过“做数学”来学习数学是本册书的一个突出特点。对于数学中的概念、法则、性质、公式、公理和定理,教科书大多是通过设置“观察”“思考”“讨论”“探究”“归纳”等栏目,让学生通过这些探究性活动,归纳得出结论,再对结论进行说明或论证。这种处理方式为学生提供探索和合作交流的空间,让学生经历知识的“再发现”过程,在探究活动的过程中发展思维能力,改变学生的学习方式。这不仅符合学生的认知规律,也是数学本身的发展规律所决定的。

 

  例如对于“空间与图形”领域的内容,与原教科书相比,本册书在内容处理上的一个显著变化是加强了实验几何的成分,对于几何中的结论,教科书多数是先让学生通过画图、折纸、剪纸或做试验等活动,探索发现几何结论,然后再对结论进行说明、解释或论证,将实验几何与论证几何有机结合。以“对顶角相等”为例,教科书首先设置一个“讨论”栏目,让学生度量两条相交直线所成的角的大小,通过学生的充分讨论,探究发现对顶角相等这个结论,然后再对它进行简单的推理。

 

  对于“数与代数”的内容,也增加了让学生通过探索活动归纳得出结论的过程。例如在讨论数的立方根的特点时,教科书首先设置“探究”栏目,在栏目中以填空的方式让学生计算一些具体的正数、0、负数的立方根,寻找它们各自的特点,通过学生讨论交流,归纳得出“正数的立方根是正数,0的立方根是0,负数的立方根是负数”的结论。这种处理方式就将合情推理与论证推理相结合,在培养学生逻辑推理能力的同时也培养了学生的探究能力和创新意识。

 

  3.体现由特殊到一般的认识过程

 

  对一个问题,通过分析一些具体情况归纳得出一般结论,这是人认识事物的一般规律,本册书在内容处理上注意体现人的这种认知规律。例如对于多边形的内角和,改变了原教科书直接求n边形内角和的做法,而是从三角形内角和出发,通过学生测量、试验等探究活动,找出四边形的内角和以及求四边形内角和的方法,进而求出五边形、六边形的内角和等,在此基础上通过分析三角形、四边形、五边形、六边形内角和的表达式以及求内角和的方法,归纳得出n边形的内角和。这样处理,一方面符合学生的年龄特征,另一方面也符合人的认识规律。

 

  4.强调数学思想方法

 

  渗透与体现数学思想方法是本册书在编写时非常关注的一个问题。本册书突出体现了数形结合的思想、转化的思想以及类比的方法。

 

  由于平面直角坐标系的提前引入,加强了数与形之间的联系,突出了数形结合的思想。例如在第五章“平面直角坐标系”中用坐标的方法刻画平移,这就用代数的方法研究几何问题;在第8章“二元一次方程组”中,借助于平面直角坐标系,就可以用二元一次方程组的图象求得方程组的近似解,从而用几何的方法研究代数问题;在第9章“不等式与不等式组”中,用数轴表示不等式(组)的解集,体现了数形结合的思想及集合的思想。在第10章“实数”学习直线上的点与实数的一一对应以及平面上的点与有序实数对一一对应等,体现了数形结合的思想和一一对应的思想。

 

  转化是数学中一种基本的也是非常重要的思想方法。对于转化的思想方法,本册书在编写时给予了充分重视,多处体现转化的思想。例如,在学习二元一次方程组的解法时,与原教科书相比,现教科书就特别强调了将二元化为一元的消元(转化)的思想。这不仅体现在以“消元”为节名,更体现在寻找二元一次方程组的解法的过程中。为了强调消元的思想,教科书正文中专门写了一段文字,说明在解二元一次方程组的过程中,如何将未知转化为已知,将二元转化为一元的消元的思想。另外,教科书还用框图的形式展示了解二元一次方程组的基本过程。这个框图改变了原教科书强调解二元一次方程组的步骤的做法,突出了消元的思想。再比如,在研究两条直线平行的判定时,将“内错角相等两直线平行”“同旁内角互补两直线平行”转化为已经解决的“同位角相等两直线平行”;在研究多边形内角和的问题中,将多边形内角和转化为三角形内角和的问题等。

 

  通过类比获得对数学的认识也是学习数学的一种有效方法。教科书多处体现类比的方法,例如,类比等式的性质得出不等式的性质,类比方程(组)的解法寻找不等式(组)的解法等。“二元一次方程组”与“不等式与不等式组”都是解决实际问题的数学模型,在研究问题的方法和思路上有很多相似的地方,教科书将两章安排在一起,是希望通过类比方程(组)研究问题的方法来研究不等式(组)的问题,使学生的学习形成正迁移。

 

  三、几个值得关注的问题

  1.对于推理的要求

  对于推理能力的培养,本套教科书按照“说点儿理”“说理”“简单推理”“用符号表示推理”等不同层次分阶段逐步加深地安排。本册书对于推理的要求基本属于“简单推理”阶段,与原教科书相比,现教科书去掉了形式证明的格式,采用语言文字叙述的方式展示推理的过程。例如,推导三角形内角和定理,教科书是这样处理的:

 

 

  过ABC的顶点A作直线l平行于ABC的边BC,由平行线的性质和平角的定义可得:

 

  ∠2=∠4,∠3=∠5

  ∠1+∠4+∠5=180

 

  所以∠1+∠2+∠3=∠1+∠4+∠5=180。

 

  这样,我们得到三角形内角和等于180。

 

  由上面可以看出,教科书没有采用“已知……,求证……,证明”的形式逻辑格式,而是用说理的方式展示推理的过程。对于推导对顶角相等、平行线的判定等都采用类似于上面的方式。

 

  与原教科书相比,对于推理,降低了对证明的形式格式的要求,但强调让学生经历推理的过程,感受推理论证的作用。因此教学中要注意准确把握教学要求,对推理能力的培养要有一个循序渐进逐步提高的过程,不能操之过急。

  2.关于新增内容

 

  从《标准》看,图形的变换是“空间与图形”领域中一块重要的内容,图形的变换主要包括图形的平移、图形的轴对称、图形的旋转和图形的相似等。通过将图形的平移、旋转、折叠等活动,使图形动起来,有助于发现图形的几何性质,因此图形的变换是研究几何问题的有效的工具。平移是一种基本的图形变换,本册书在第5章“相交线与平行线”安排了一节平移变换的内容。

 

  在平移一节中,教科书首先从观察几个由图形的平移得到的美丽图案入手,分析这些图案的共同特点,发现每一个图案都是由一个图形经过平行移动得到的。通过探索平移前后两个图形之间的关系,发现“两个图形大小形状完全相同”“新图形中的每一点都是由原图形中的某一点移动后得到的,这两个点是对应点”“各组对应点间的连线平行且相等”等平移的基本性质,并学习利用平移设计图案和分析解决实际生活中的问题。

 

  对于平移的内容,本册书在“平面直角坐标系”和“实数”两章也有安排。在“平面直角坐标系”中安排了“用坐标表示平移”的内容,从数的角度用代数的方法研究平移变换,一方面研究由于图形的平移引起的图形顶点坐标的变化,另一方法考察图形顶点坐标的变化所引起的图形的平移,这样就将平移变换从数和形两方面统一起来,使学生对平移变换有更深刻的了解,为今后使用平移变换发现几何结论,研究几何问题打下基础。另外,在“实数”一章,安排了点的坐标在实数范围内的图形平移的问题。通过对图形平移的研究,能使学生了解平移的基本性质,认识和欣赏平移在生活中的应用。

 

  3.平面直角坐标系

 

  提前安排平面直角坐标系是本套教科书体系安排上的一个突出特点。原教科书有关平面直角坐标系的内容只有2课时,放在初中三年级“函数”一章,作为学习函数的基础知识来安排的。这套教科书将“平面直角坐标系”单独设章,8个课时,目的是让学生尽早接触平面直角坐标系中这种数学工具,尽早感受数形结合的思想。与原教科书相比,在内容上除了包括传统的与建立平面直角坐标系有关的概念外,增加了坐标方法的简单应用(如用坐标表示地理位置,用坐标表示平移)等内容。在内容处理上也有较大变化,本章内容的编写仅仅围绕着确定物体的位置展开。首先从实际生活中利用有序数对确定物体的位置(如电影院中座位的位置以及教室中学生座位的位置)出发,引出平面内确定点的位置的方法,即建立平面直角坐标系,通过对平面直角坐标系的研究,尤其是关于点与坐标(整数)的一一对应关系,再来看它在确定地理位置和数学中的应用。这样的一种处理,改变了原教科书直接从数学角度引入平面直角坐标系的做法,而是密切联系生活实际,从实际的需要出发引出坐标系,让学生感受平面直角坐标系在解决实际问题中的作用。通过坐标方法在数学中的应用,使学生看到平面直角坐标系成功地架起了数与形之间的桥梁,为解决数学问题提供了一个强有力的工具,有了它,既可以把代数问题转化为几何问题,又可以将几何问题转化为代数问题。

 

  在“平面直角坐标系”一章中,只要求学生会在方格纸中建立坐标系,其中点的坐标都是整数,这样安排是为了减少由于复杂数字带来学习上的困难,将学习的重点集中在体验数形结合的思想上来。随着学习的深入,学生对平面直角坐标系的认识不断加深,在“实数”一章将把点的坐标扩展到实数范围,并建立点与有序数对的一一对应关系。

    
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