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  一、本章主要内容和课程学习目标

 

(一)教科书内容

 

数量之间除了有相等关系外,还有大小不等的关系.正如方程与方程组是讨论等量关系的有力数学工具一样,不等式与不等式组是讨论不等关系的有利数学工具.一元一次不等式(组)中,只含有一个未知数并且未知数的次数为1,因而是最简单的含未知数的不等式(组),也是进一步学习更复杂的不等式(组)的基础.

 

本章的主要内容包括:一元一次不等式(组)及其相关概念,不等式的性质,一元一次不等式(组)的解法及其解集的几何表示,利用一元一次不等式(组)分析与解决实际问题.其中,以不等式(组)为工具分析问题、解决问题是重点,也是教学中的主要难点;一元一次不等式(组)及其相关概念、不等式的性质是基础知识;掌握一元一次不等式(组)的解法及解集的几何表示是基本技能和能力.本章重视数学与实际的关系,注意体现列不等式(组)中蕴涵的建模思想和解不等式(组)中蕴涵的化归思想.

 

使学生经历建立一元一次不等式(组)这样的数学模型并应用它解决实际问题的过程,体会不等式(组)的特点和作用,掌握运用它们解决问题的一般方法,提高分析问题、解决问题的能力,增强创新精神和应用数学的意识,是本章的中心任务.由于不等式所解决的是含有不等关系的问题,这与以前较多讨论的等量关系既有联系又有区别,所以学习本章时会遇到如何通过比较新旧知识取得新进展的问题.

 

全章共包括四节:

 

9.1 不等式                                                      

 

9.2 实际问题与一元一次不等式                                    

 

9.3 一元一次不等式组                                             

 

9.1节中,首先以实际问题为例,结合问题中的不等关系,引出不等式及其解集的概念;然后类比一元一次方程,引出一元一次不等式的概念.为进一步讨论不等式的解法,教科书接着对不等式的性质进行了讨论,得出不等式的三个性质,并运用它们解简单的不等式.不等式的性质是解不等式的重要依据,教科书正是从讨论解不等式的需要出发引导学生认识它们的.解不等式就是求出对其中未知数的大小的限制,有了这样明确的目标,再加上对于不等式性质的认识,解不等式的方法就能很自然地产生.这一节的框架结构与一元一次方程的相应部分类似,教学中可以类比方程、等式的性质等来讨论不等式、不等式的性质等.

 

涉及求未知数取值范围的问题是普遍存在的,而不等式是解决这些问题的有力工具.第9.2节从一个选择购物商店问题入手,再对列、解一元一次不等式作进一步的讨论.通过引入的问题以及它后面的例题,教科书归纳出一元一次不等式与一元一次方程在解法上的异同及应注意之处.上述讨论与归纳的过程,是结合分析和解决实际问题进行的,建立不等式模型始终是本章的核心内容.

 

   9.3节中,结合三角形三条边的大小关系,引进了一元一次不等式组及其解集的概念.在第8章刚学习了二元一次方程组的基础上,讨论不等式组是比较自然的安排.这里公共解集中的“公共”,是指各不等式解集的公共部分(交集).二元一次方程组的解可以通过消元直接产生,而一元一次不等式组的解集要借助画出数轴(或在头脑中想象数轴)才能得出.在这个问题上借助直观利用数形结合具有重要作用.在本节的实际问题中,数量间的大小关系更为复杂(有两个以上),通过列不等式组可以进一步培养建立不等式(组)模型的能力.

 

(二)本章知识结构

 

1.利用不等式(组)解决实际问题的基本过程

 

 

2.本章知识安排的前后顺序

 

      

 

    (三)课程学习目标

 

概括地说,本章教学应考虑以下5个目标:

 

1.了解一元一次不等式及其相关概念,经历“把实际问题抽象为不等式”的过程,能够“列出不等式或不等式组表示问题中的不等关系”,体会不等式(组)是刻画现实世界中不等关系的一种有效的数学模型.

 

2.通过观察、对比和归纳,探索不等式的性质,能利用它们探究一元一次不等式的解法.

 

3.了解解一元一次不等式的基本目标(使不等式逐步转化为的形式),熟悉解一元一次不等式的一般步骤,掌握一元一次不等式的解法,并能在数轴上表示出解集,体会解法中蕴涵的化归思想.

 

4.了解不等式组及其相关概念,会解由两个一元一次不等式组成的不等式组,并会用数轴确定解集.

 

(四)课时安排

 

本章教学时间约需11课时,具体分配如下(仅供参考):

 

9.1 不等式                                                 4课时

 

9.2 实际问题与一元一次不等式                               3课时

 

9.3一元一次不等式组                                        2课时

 

数学活动

 

小结                                                       2课时

 

二、本章的编写特点

 

本章的编写在指导思想和内容安排方面具有以下主要特点.

 

(一)突出建摸思想,实际问题作为大背景贯穿全章

 

同前面的第三章“一元一次方程”、第八章“二元一次方程组”一样,在本章中,安排了一些有代表性的实际问题作为知识的发生、发展的背景材料,实际问题始终贯穿于全章,对不等式(组)等概念的引入和对它们的解法的讨论,都是在建立和运用不等式(组)这种数学模型的过程之中进行的.

 

9.1节中,首先通过一个具体行程问题引入不等式及不等式的解,教科书引导学生从时间和路程两个不同角度考虑这个问题,然后再一步步引导学生列出含未知数的式子表示有关的量,并进一步依据不等关系列出含未知数的不等式.在这个问题中,按照题意,汽车到达A地的行驶时间要小于小时;或者说,汽车行驶小时所走路程要大于50千米.这两个不等关系实际上是一致的,是从两个不同角度看同一个问题,选取其中任何一个不等关系都可以列不等式解决本题.这里多举一个不等式的例子可以体现解决问题的方法有多种,不等式的形式也有多种,而我们现在要重点讨论其中的一元一次不等式.

 

9.2节仍然结合一些实际问题展开,重点讨论两方面的问题:

 

(1)如何根据实际问题列不等式?这是贯穿全章的中心问题.

 

(2)如何解不等式?

 

本节首先从生活中常见的购物问题说起.由于市场上存在不同的促销方式,所以购物时可以货比三家,进行选择购物.本节开始的问题正是这样的问题,应该说在市场经济日益发展的现代社会,这个问题与学生距离较近.本节中其他几个问题也是与现实生活关系密切的问题.

 

9.3节从制作三角形木框谈起,引入不等式组的概念,并进一步结合实际问题讨论如何列、解一元一次不等式组.

 

总之,实际问题在本章教材中既是线索、素材,又是检验教学效果的尺度.

 

(二)注重知识的前后联系,强调通过比较来认识新事物

 

本章在全套教科书中,位居一次方程(组)之后.方程(组)是讨论等量关系的数学工具,不等式(组)是讨论不等关系的数学工具.两者既有联系又有差异.在认识一次方程(组)的基础上,通过比较的方式接受新知识一元一次不等式(组),充分发挥心理学所说的正向迁移的作用,可以起到很好的温故而知新的效果.

 

本章9.1节的结构与一元一次方程的相应部分类似,教科书在各概念的引入、展开时注意了类比方程、等式的性质等来讨论不等式、不等式的性质等,反映了知识间的横向联系,突出了不等式的特点.

 

方程组与不等式组在形式上类似,而且它们的解(集)都是指组成方程组或不等式组的各方程或不等式的公共解(集),教科书在引入不等式组及其解集时注意了渗透这种联系.

 

解方程与解不等式都是通过适当的式子变形,使未知数转化为已知,但两者的目标有所不同,前者要转化为的形式,后者则要转化为的形式.为实现这样的目标,都需要运用化归思想,根据等式或不等式的性质,对方程或不等式进行由繁至简的变形.教科书中注意了这样的联系,同时又强调了解不等式与解方程的不同之处,突出了应注意的问题,例如解不等式中要将未知数的系数化为1时,应根据原来系数的正负确定不等号的选择.

 

    三、几个值得关注的问题

 

  前面已介绍了本章的主要内容、教学目标、编写特点等,使用本章教材进行教学时,应关注下面的问题.

 

(一)注重类比,做好从方程到不等式的迁移

 

从课程标准看,方程与不等式是同属“数与代数”领域内同一标题下的两部分内容,它们之间有密切的联系,存在许多可以进行类比的内容.在前面已经学习过有关方程(组)内容的基础上,学生已经对方程有一定的认识,会用方程表示问题情境中的等量关系,会解一元一次方程和二元一次方程组,即对于方程的认识已经具备一定的积累.充分发挥学习心理学中正向迁移的积极作用,借助已有的对方程的认识,可以为进一步学习不等式(组)提供一条合理的学习之路.

 

  本章的主要内容有不等式的性质、一元一次不等式(组)、一元一次不等式(组)的解法、利用不等式(组)分析解决实际问题等,它们与等式的性质、一元一次方程、一元一次方程的解法、方程组、利用方程(组)分析解决实际问题等有明显的对应关系,其中有许多共同点,不同之处在于方程是表达相等关系的数学模型,不等式是表达不等关系的数学模型.了解它们的联系与区别(例如通过类比等式性质学习不等式性质),有助于使学生在已有基础上以效率较高的方式得到新的提高.

 

(二)突出数学建模思想,反映不等式(组)与实际问题的联系

 

  实际问题中有许多涉及数量间的大小关系的比较,这为学习“不等式与不等式(组)”提供了大量的现实素材.在本章教科书中,实际问题情境贯穿于始终,对不等式解法的讨论也是在解决实际问题的过程中进行的,正如“列方程(组)”在前面有关方程的几章中占有突出地位,本章中“列不等式(组)”始终是重点内容,尽管数学模型的形式由方程(组)转变为不等式(组),数学建摸思想却在已有基础上得到进一步的发展和强化.全章教科书依讨论实际问题的线索而展开.在本章的教学和学习中,要充分注意不等式(组)的现实背景,通过大量丰富的实际问题,反映出不等式(组)来自实际又服务于实际,加强对不等式(组)是解决现实问题的一种重要数学模型的认识.鉴于本章的学习对象是七年级下学期的学生,他们对以方程为代表的数学模型已有一定认识,教学中可以适当出现“数学模型”一词,但是应注意结合具体例子来体现数学模型的意义和作用,反复强调数学模型在解决实际问题中的作用,继续突出建立数学模型(数学化)解决问题的思想.

 

  设未知数、列不等式(组)是本章中用数学模型表示和解决实际问题的关键步骤,而正确地理解问题情境,分析其中的不等关系是设未知数、列不等式(组)的基础.在本章的教学和学习中,可以从多种角度启发学生思考数量之间的大小关系,借助数轴等直观图形以及表格、式子等进行分析,寻找不等关系的数学化表达方式,检验不等式本身以及它的解的合理性.教师还可以结合实际情况,选择其他贴近学生生活且适合学生认知水平的问题,引导学生探索用不等式(组)为工具来分析解决它们.

 

  利用不等式(组)解决实际问题的基本过程(见前面的图),在本章中的小结中出现,它与前面方程(组)在这方面的框图的基本结构一致,这有助于从整体上进一步加强对数学模型与实际问题关系的认识,在教学、学习和复习时应注意不断强化对它的认识.

 

(三)重视数学思想方法的渗透

 

  本章所涉及的数学思想方法主要包括两个:一个是由实际问题抽象为不等式(组)这个过程中蕴涵的符号化、模型化的思想;另一个是解不等式(组)的过程中蕴涵的化归思想.前面有关方程(组)的章节中对这些思想方法已多次进行渗透,本章中讨论的对象为一元一次不等式(组),最终要使不等式(组)变形为x>ax<a的形式,即依据不等式的性质,使不等式(组)逐步化简,直至明确求出未知数的大小范围,因此需要在新问题中把对上述思想方法的认识提高.

 

  此外,充分利用数轴对于解不等式组是行之有效的方法,在本章的教学和学习中,应体现数学中数形结合的研究方法,使学生认识到借助直观思考问题的优越性,这对后续学习是有益的.一般说,数学思想方法是通过数学知识的载体来体现的,对于它们的认识不是一次完成的,而需要一个逐步认识的过程,既需要教材的不断渗透,也需要教师的经常点拨,这样有利于学生感受和理解它们.数学思想方法对一个人的影响往往要大于具体的数学知识,因此,教学中应在如何深入浅出地进行数学思想方法的渗透传播方面不断探索.

 

(四)关注基础知识和基本技能

 

  本章内容包括一元一次不等式(组)的概念、解法和应用.一元一次不等式是最基本的代数不等式,对它的理解和掌握对于后续学习(其他的不等式以及函数等)具有重要的基础作用.因此,教学和学习中应注意打好基础,对本章中的基础知识和基本技能、能力等进行及时的归纳整理,安排必要的、适量的练习,使得学生对基础知识留下较深刻的印象,对基本技能达到一定的掌握程度,发展基本能力.

    
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