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  七年级下册第5章是“相交线与平行线”,本章主要研究平面内两条直线的位置关系,重点是垂直和平行关系,以及有关平移变换的内容.本章共安排了四个小节以及两个个选学内容,教学时间约需14课时,具体分配如下(仅供参考):

 

5.1 相交线                                        4课时

 

5.2 平行线及其判定                                3课时

 

5.3 平行线的性质                                  3课时

 

5.4 平移                                          2课时

 

数学活动

 

小结                                             2课时

 

一、教科书内容和课程学习目标

 

(一)本章知识结构

 

本章知识结构如下图所示:

    

 

(二)教科书内容

 

平面内两条直线的位置关系是“空间与图形”所要研究的基本问题,这些内容学生在前两个学段已经有所接触,本章在学生已有知识和经验的基础上,继续研究平面内两条直线的位置关系,首先研究了两条直线相交的情形,探究了两直线相交所成的角的位置和大小关系,给出了邻补角和对顶角概念,得出了“对顶角相等”的结论;垂直作为两条直线相交的特殊情形,与它有关的概念和结论是学习下一章“平面直角坐标系”的直接基础,本章对垂直的情形进行了专门的研究,探索得出了“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”“垂线段最短”等结论,并给出点到直线的距离的概念,为学习在平面直角坐标系中确定点的坐标打下基础.接下来,教科书研究了两条直线被第三条直线所截的情形,给出了同位角、内错角、同旁内角的概念,为接下来研究平行做准备.

 

对于平面内两条直线平行的位置关系,教科书首先引入一个基本事实(平行公理),即过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,以此为出发点探讨了判定两条直线平行的三种方法和两条直线平行的三条性质,并给出了两条平行线的距离的概念.由于学生已经接触了一些命题(定理),如“如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也平行”“等式两边加同一个数,结果仍然是等式”“对顶角相等”,教科书对命题、命题的构成、真假命题、定理作了简单介绍,使学生初步接触有关形式逻辑概念和术语. 

 

  本章在最后一节安排了有关平移变换的内容.从《课程标准》看,图形的变化是“空间与图形”领域中一块重要的内容,通过将图形的平移、旋转、折叠等活动,使图形动起来,有助于在运动变化的过程中发现图形不变的几何性质,因此图形的变换是研究几何问题、发现几何结论的有效工具.本套教材在不同阶段安排了这些图形变换的内容.平移是一种基本的图形变换,也是本套教材中引进的第一个图形变换.教科书将“平移”安排在本章最后一节,一方面是考虑将其作为平行线的一个应用,另一方面考虑引入平移变换,可以尽早渗透图形变换的思想,使学生尽早接触利用平移分析和解决问题的方法.在“平移”一节中,教科书首先给出几个美丽图案,分析这些图案的共同特点,由此引出图形的平移;接着通过一个“探究”栏目让学生画雪人,体会动手平移的过程;再观察两个相邻的雪人,分析它们之间对应点连线的位置和长短关系,发现平移的基本性质,给出了平移变换的概念;最后学习利用平移设计图案和分析解决实际生活中的问题.

 

本章的重点是垂线的概念与平行线的判定和性质,因为这些知识是空间与图形领域的基础知识,在以后的学习中经常要用到,这部分内容掌握不好,将会影响后续内容的学习.学好这部分重点内容的关键是要使学生理解与相交线、平行线有关的角的知识,因为直线的位置关系是通过有关角的知识反映出来的.

 

对于推理能力的培养,在本章,不仅要求学生通过观察、思考、探究等活动归纳出图形的概念和性质,还要求“说理”和“简单推理”,把它作为探究结论的自然延续.本章这样的地方还是很多的,例如“对顶角相等”性质的得出,由判定两直线平行的方法1,得出方法23,由平行线的性质1,得出性质23,以及一些例、习题中,等等.对于推理,由于学生还比较陌生,不知道应由什么,根据什么,得出什么,对于推理所用的三段论的形式——由小前提得到结论,以大前提作为理由,一下子也很难适应.因此,逐步深入地让学生学会说理,是本章的一个难点.

 

解决以上难点的关键是要按照教科书的安排,一步一步地,循序渐进地引入推理论证的内容.在本章,结合正文的相关内容,进行初步的说理训练;在本章最后,学习了命题及命题的构成后,学生也能对推理的理由,三段论的表达形式有进一步的认识,用这样前一步为后一步作准备,逐步提高,慢慢教会的办法克服难点.

 

二、本章编写特点

 

(一)内容呈现上充分体现认知过程,给学生提供探索与交流的时间和空间

 

  在内容处理上,教科书加强了实验几何的成分,将实验几何与论证几何有机结合.论证几何在培养人的逻辑思维能力方面起着重要作用,而实验几何则是发现几何命题和定理的有效工具,在培养人的直觉思维和创造性思维方面起着重要的作用.对于几何中的结论,教科书多数是先让学生通过画图、折纸、剪纸、度量或做试验等活动,探索发现几何结论,然后再对结论进行说明、解释或论证,为由实验几何到论证几何的过渡做好铺垫,在教学时应充分注意这一点.

 

  对于本章中的一些概念、性质、公理和定理,教科书大多是通过“留空”、设问、设置“思考”“探究”“归纳”以及“数学活动”等栏目,让学生通过探索活动来发现结论,经历知识的“再发现”过程,在探究活动的过程中发展创新思维能力,改变学生的学习方式.例如,对于“对顶角相等”,教科书首先设置一个“讨论”栏目,让学生度量两条相交直线所成的角的大小,通过学生的充分讨论,探究发现对顶角相等这个结论,然后再对这个结论进行了说理,这样就将实验几何与论证几何相结合.再如,平行线性质的处理也是采用的这种处理方式.在本章最后的活动1“你有多少种画平行线的方法?”中,学生通过讨论书中提供的三位同学画平行线的方法,结合本章所学内容和生活经验,不同的学生会得到不同的画平行线的方法.通过这样的“数学活动”培养学生的探究能力和创新意识.

 

(二)注意加强直观性

 

  密切联系实际,体现知识的形成和应用过程,以实际问题为出发点和归宿是编写这套教科书特别关注的问题.几何图形是从实际中抽象出来的,所以几何图形的定义、性质都是比较抽象的,这一点对于学生来说有一定的困难.为了减少学生学习的困难,在编写这一章时,我们注意根据七年级学生认知特点,加强了直观教学,使教学内容尽量贴近学生的生活.许多概念、性质、定理的引入都是从解决实际问题的需要来出发的(如从剪刀剪开布片的过程引入研究两条相交直线所成角的问题,从灌溉挖渠的问题引入垂线段最短的性质,等等);在教材编写时,也注意为利用实物、模型、计算机等多种教学手段提供材料,让学生在运动变化中寻找图形的不变的位置关系和数量关系,从而有利于发现图形的性质(如对顶角的性质,垂线、平行线的概念的引入等等).在研究有关数学概念、性质后,再注意把所学知识应用到实际生活中(例如画交通路口示意图、检验一些平行问题、绘制住房平面图等等).在教学时,也应注意从实际问题出发,引导学生自己多观察、多动手、勤思考,结合适合当地特点的一些问题,抽象出隐含在这些实际问题中的数学问题,引入本章要学习的相关内容,通过对数学问题的研究,学习有关的数学概念和方法,并利用所学知识解决更多的实际问题,体现具体——抽象——具体的过程,提高学生学习数学的兴趣,培养他们应用所学知识解决问题的能力.

 

 (三)循序渐进地安排技能训练

 

这一章的教学,除了要学习一些数学知识以外,还担负着一些技能和能力的培养和训练的任务.这既有几何语言、图形方面的,也有说理、推理方面的.这些内容,都是进一步学习空间与图形知识的基础.教科书在这方面也是作了精心安排,在教学时应当注意按照由简单到复杂,由模仿到独立操作的顺序,逐步提高要求.

 

例如,在这一章开始,要求学生进行说理,处于为今后进行推理论证的准备阶段.因此,也就要求学生能用较准确的语言表达学过的概念、性质,学会一些简单的、基本的推理语言(如“因为……所以……”“由……得……”等),要能区分命题的条件和结论等,为能用文字语言准确表达说理过程,也为今后进行推理论证打下一个良好的基础.

 

再如,承接“图形认识初步”,本章仍旧要重视文字语言、符号语言、图象语言等几种不同语言的相互转化,注意“几何模型→图形→文字→符号”这个抽象的过程,使抽象和直观结合起来,在图形的基础上发展其他语言.在教科书中也注意了由不同方向对图形、文字和符号间转化的设计安排,安排了这样一些练习、习题,教学时也要注意这方面的训练.本章也要求学生能用各种绘图工具画出垂线、平行线,平移一个简单的图形等,教科书还安排了“你有多少画平行线的方法”的数学活动,通过这些内容,让学生较快适应,把几何图形与语句表示、符号表示联系起来,使学生能从多角度表示图形、认识图形、把握图形.

 

三、几个值得关注的问题

 

(一)有意识地培养学生有条理的思考和表达

 

  对于推理能力的培养,本套教科书按照“说点儿理”“说理”“简单推理”“用符号表示推理”等不同层次分阶段逐步加深地安排.本章对于推理的要求还处在初步阶段,只是结合知识的学习,识图、画图、几何语言的训练从“说理”过渡到“简单推理”.例如,在推导“对顶角相等”这个结论时,采用了用语言叙述的方式进行“说理”,在推导平行线的性质(由性质1得出性质2)时,教科书展示了一个简单推理的过程.各个过程中,都没有采用“已知……,求证……,证明”的形式逻辑格式,而是用说理的方式展示推理的过程,但强调让学生经历推理的过程,感受推理论证的作用,使说理、推理作为观察、实验、探究得出结论的自然延续.因此教学中要注意准确把握教学要求,对推理能力的培养要有一个循序渐进逐步提高的过程,要鼓励学生用自己的语言说明理由,在书写格式上不作统一要求,可以用自然语言,可以结合图形进行说明,可以用箭头等形式表明自己的思路,也可以用数学符号语言表示说理、简单推理的过程,等等.总之,要注意逐步提高、不要急于要求学生用数学符号语言书写,不能操之过急.

 

另外,说理、推理的内容是本章的教学难点,教科书中注意对学生循序渐进地进行训练.由于学生的认知能力有差别,基础也不同,所以教学中一方面要按要求有计划地组织好教学,另一方面要注意因材施教.对于学习有困难的学生,一定要一步一步地使每阶段的训练到位,不要急于求成;对接受能力强的学生,要及时调整教学要求,保护他们学习的积极性,满足他们的求知欲,对于教科书中的一些要求说明理由的习题,也可以要求他们把推理的过程用简单的符号化的语言表示出来.

 

(二)注意突出重点内容

 

这一章的内容比较丰富,除了要研究平面内两条直线间的位置关系(重点是垂直和平行关系),还包括平移变换的内容以及一些命题的内容,由于教学时间有限,为了使学生集中精力掌握最基础的知识,并形成一定的能力,教学时应注意突出重点.例如,研究两条直线的位置关系时,重点是要研究一些图形的性质,如对顶角相等、垂线的性质,以及平行线的判定和性质等,对于一些定义,不要作严格的形式化的要求.教科书中邻补角、对顶角的概念都是结合图形,分析其位置关系给出的;垂直、平行的概念则是承接了前面学段学过的概念.对于同位角、内错角、同旁内角的内容,教科书是在研究两条直线相交的基础上,进一步研究三条直线相交的角度引入的,主要是为接下来研究平行做准备。这里要求学生掌握基本概念即可,不要做过多的变式训练。再如,对于命题、定理、证明等概念,教科书是分阶段、分散安排的.在本章,要求学生在学过一些命题(包括数与代数的以及空间与图形的)的基础上,了解命题的概念以及命题的构成(如果……那么……的形式),知道命题的真假,了解定理的概念等,不要在这里过多要求.

 

由于内容较多,每课教学时都要突出一两个重点,课堂活动也要围绕这一两个重点进行.例如,讲5.1.1相交线这一小节时,要抓住“对顶角相等”这个重点.实际上,教科书“讨论”栏目设计的表格在教学时可以逐步呈现,由两条直线相交的图形,让学生寻找其中所成的角,对它们进行分类,根据位置关系对它们“命名”,然后寻找它们的大小关系,最后再进行说理.在课堂上识图、画图、语言训练、作练习都可以主要围绕找“对顶角”或应用“对顶角相等”进行.

 

(三)处理好平移内容

 

从《标准》看,图形的变换是“空间与图形”领域中一块重要的内容,图形的变换主要包括图形的平移、图形的轴对称、图形的旋转和图形的相似等.通过对图形的平移、旋转、折叠等活动,使图形动起来,有助于发现图形的几何性质,因此图形的变换是研究几何问题的有效的工具.平移是一种基本的图形变换,在本章第4节安排了平移变换的内容.

 

  在平移一节中,教科书首先从观察几个由图形的平移得到的美丽图案入手,分析这些图案的共同特点,发现每一个图案都是由一个图形经过平行移动得到的.通过探索平移前后两个图形之间的关系,发现“两个图形大小形状完全相同”“新图形中的每一点都是由原图形中的某一点移动后得到的,这两个点是对应点”“各组对应点间的连线平行且相等”等平移的基本性质,并学习利用平移设计图案和分析解决实际生活中的问题.

 

对于平移的内容,本章只是一个初步认识,本册书在“平面直角坐标系”中还安排了“用坐标表示平移”的内容,从数的角度用代数的方法研究平移变换,将平移变换从数和形两方面统一起来,使学生对平移变换有更深刻的了解,为今后使用平移变换发现几何结论,研究几何问题打下基础;另外,在八年级下册“四边形”一章,还结合平行四边形的判定和性质对平移过程中“对应点的连线平行且相等”的性质作了理论的推导;在九年级上册“旋转”中,还要求学生能综合应用平移、轴对称、旋转等变换进行图案设计,认识和欣赏它们在现实生活的应用.这样处理平移内容,能使学生从感性到理性、从静态到动态逐步加深对平移的理解,有助于他们逐步掌握平移的内容.在教学时要注意教科书的安排,完成好这部分内容的教学.

 

(四)重视信息技术的应用

 

  信息技术工具的使用能为学生的数学学习和发展提供丰富多彩的教育环境和有力的学习工具.利用信息技术工具,可以很方便地制作图形,可以很方便地让图形动起来.许多计算机软件还具有测量功能,这也有利于我们在图形的运动变化的过程中去发现其中的不变的位置关系和数量关系,有利于发现图形的性质,这可以使得许多传统的数学教学做不到或做不好的事情变得容易起来.

 

  在这一章,信息技术工具是大有用武之地的,教科书还专门安排了一个“信息技术应用”的选学栏目,对教科书中一些可以应用信息技术的地方进行了举例说明.例如,我们随意画两条相交直线,就得到了一个相交线的“模型”,这个模型比我们用木条做成的模型又进一步,它不仅可以随意转动,通过寻找转动过程中角的不变的位置关系得到邻补角和对顶角;还可以利用软件的测量功能,测出这些角的大小,再观察转动过程中角的大小的变化,去发现邻补角、特别是对顶角之间的数量关系,这是传统方法所不能做到的,也正是信息技术工具的优势所在.其他探索垂线的性质、探索平行线的性质和判定方法也是类似的.因此,有条件的学校,应尽可能多的使用计算机或图形计算器等信息技术工具,帮助学生的数学学习.

    
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