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  【教学目标

 

1.使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念,初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法

 

2.通过对函数单调性定义的探究,渗透数形结合数学思想方法,培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力;通过对函数单调性的证明,提高学生的推理论证能力

 

3.通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯让学生经历从具体到抽象,从特殊到一般,从感性到理性的认知过程

 

  【教学重点  函数单调性的概念、判断及证明.

 

  【教学难点  归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性.

 

  【教学方法  教师启发讲授,学生探究学习.

 

  【教学手段  计算机、投影仪.

 

  【教学过程

 

一、创设情境,引入课题

 

课前布置任务:

 

(1) 由于某种原因,2008年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日,请查阅资料说明做出这个决定的主要原因.

 

(2) 通过查阅历史资料研究北京奥运会开幕式当天气温变化情况.

 

课上通过交流,可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因,北京的天气到8月中旬,平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降,比较适宜大型国际体育赛事.

 

下图是北京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.

 

       

 

引导学生识图,捕捉信息,启发学生思考.

 

问题:观察图形,能得到什么信息?

 

预案:(1)当天的最高温度、最低温度以及何时达到;

 

(2)在某时刻的温度;

 

(3)某些时段温度升高,某些时段温度降低.

 

在生活中,我们关心很多数据的变化规律了解这些数据的变化规律,对我们的生活是很有帮助的.

 

问题:还能举出生活中其他的数据变化情况吗?

 

预案:水位高低、燃油价格、股票价格等.

 

归纳:用函数观点看,其实就是随着自变量的变化,函数值是变大还是变小.

 

设计意图由生活情境引入新课,激发兴趣.

 

二、归纳探索,形成概念

 

对于自变量变化时,函数值是变大还是变小,初中同学们就有了一定的认识,但是没有严格的定义,今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义.

 

1.借助图象,直观感知

 

问题1:分别作出函数的图象,并且观察自变量变化时,函数值有什么变化规律?

 

      

 

预案:(1)函数在整个定义域内 yx的增大而增大;函数在整个定义域内 yx的增大而减小.

 

(2)函数 yx的增大而增大,在yx的增大而减小.

 

(3)函数 yx的增大而减小,在yx的增大而减小.

 

引导学生进行分类描述 (增函数、减函数).同时明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,是函数的局部性质.

 

问题2:能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数?

 

预案:如果函数在某个区间上随自变量x的增大,y也越来越大,我们说函数在该区间上为增函数如果函数在某个区间上随自变量x的增大,y越来越小,我们说函数在该区间上为减函数

 

教师指出:这种认识是从图象的角度得到的,是对函数单调性的直观,描述性的认识.

 

设计意图从图象直观感知函数单调性,完成对函数单调性的第一次认识

 

2.探究规律,理性认识

 

问题1:下图是函数的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减函数吗?

 

             

 

学生的困难是难以确定分界点的确切位置.

 

通过讨论,使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观,但有时不够精确需要结合解析式进行严密化、精确化的研究.

 

设计意图使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性.

 

问题2:如何从解析式的角度说明为增函数?

 

预案: (1) 在给定区间内取两个数,例如12,因为12<22,所以为增函数.

 

(2) 仿(1),取很多组验证均满足,所以为增函数.

 

(3) 任取,因为,,所以为增函数.

 

对于学生错误的回答,引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举,从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量

 

设计意图把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度,完成对概念的第二次认识事实上也给出了证明单调性的方法,为证明单调性做好铺垫.

 

3.抽象思维,形成概念

 

问题:你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗?

 

师生共同探究,得出增函数严格的定义,然后学生类比得出减函数的定义.

 

(1)板书定义

 

(2)巩固概念

 

判断题:

 

 

②若函数

 

③若函数在区间(2,3)上均为增函数,则函数在区间(1,3)上为增函数.

 

因为函数在区间上都是减函数,所以上是减函数.

 

通过判断题,强调三点:

 

单调性是对定义域内某个区间而言的,离开了定义域和相应区间就谈不上单调性.

 

对于某个具体函数的单调区间,可以是整个定义域(如一次函数),可以是定义域内某个区间(如二次函数),也可以根本不单调(如常函数)

 

函数在定义域内的两个区间A,B上都是增(或减)函数,一般不能认为函数在上是增(或减)函数.

 

思考:如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数?

 

设计意图让学生由特殊到一般,从具体到抽象归纳出单调性的定义,通过对判断题的辨析,加深学生对定义的理解,完成对概念的第三次认识.

 

三、掌握证法,适当延展

 

证明函数上是增函数.

 

1.分析解决问题    针对学生可能出现的问题,组织学生讨论、交流.

 

证明:任取,          设元

 

           求差

 

          变形  

 

 

 

,

 

                   断号

 

 

 

函数上是增函数.     定论

 

2.归纳解题步骤

 

引导学生归纳证明函数单调性的步骤:设元、作差、变形、断号、定论.

 

练习:证明函数上是增函数.

 

问题:要证明函数在区间上是增函数,除了用定义来证,如果可以证得对任意的,且可以吗?

 

引导学生分析这种叙述与定义的等价性.让学生尝试用这种等价形式证明函数上是增函数.

 

设计意图初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤.等价形式进一步发展可以得到导数法为用导数方法研究函数单调性埋下伏笔

 

四、归纳小结,提高认识

 

学生交流在本节课学习中的体会、收获,交流学习过程中的体验和感受,师生合作共同完成小结.

 

1.小结

 

(1) 概念探究过程:直观到抽象、特殊到一般、感性到理性.

 

(2) 证明方法和步骤:设元、作差、变形、断号、定论.

 

(3) 数学思想方法和思维方法:数形结合,等价转化,类比等.

 

2.作业

 

书面作业:课本第60页  习题2.3 第4,5,6题.

 

课后探究:

 

(1) 证明:函数在区间上是增函数的充要条件是对任意的,且

 

 (2) 研究函数的单调性,并结合描点法画出函数的草图.

 

《函数的单调性》教学设计说明

 

一、教学内容的分析

 

函数的单调性是学生在了解函数概念后学习的函数的第一个性质,是函数学习中第一个用数学符号语言刻画的概念,为进一步学习函数其它性质提供了方法依据.

 

对于函数单调性,学生的认知困难主要在两个方面:(1)要求用准确的数学符号语言去刻画图象的上升与下降,这种由形到数的翻译,从直观到抽象的转变对高一的学生是比较困难的;(2)单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容,而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的.根据以上的分析和教学大纲的要求,确定了本节课的重点和难点.

 

二、教学目标的确定

 

根据本课教材的特点、教学大纲对本节课的教学要求以及学生的认知水平,从三个不同的方面确定了教学目标,重视单调性概念的形成过程和对概念本质的认识;强调判断、证明函数单调性的方法的落实以及数形结合思想的渗透;突出语言表达能力、推理论证能力的培养和良好思维习惯的养成.

 

三、教学方法和教学手段的选择

 

本节课是函数单调性的起始课,采用教师启发讲授,学生探究学习的教学方法,通过创设情境,引导探究,师生交流,最终形成概念,获得方法.本节课使用了多媒体投影和计算机来辅助教学,目的是充分发挥其快捷、生动、形象的特点,为学生提供直观感性的材料,有助于学生对问题的理解和认识.

 

四、教学过程的设计

 

为达到本节课的教学目标,突出重点,突破难点,教学上采取了以下的措施: 

 

1)在探索概念阶段, 让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程,完成对单调性定义的三次认识,使得学生对概念的认识不断深入.

 

2)在应用概念阶段,通过对证明过程的分析,帮助学生掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤.

 

3)考虑到我校学生数学基础较好、思维较为活跃的特点,对判断方法进行适当的延展,加深对定义的理解,同时也为用导数研究单调性埋下伏笔.

    
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