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  不等关系与相等关系都是客观事物的基本数量关系,是数学研究的重要内容。建立不等观念,处理不等关系与处理等量问题是同样重要的。根据课程标准,在本章中,学生将通过具体情境,感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值;掌握求解一元二次不等式的基本方法,并能解决一些实际问题;能用二元一次不等式组表示平面区域,并尝试解决一些简单的二元线性规划问题;认识基本不等式及其简单应用;体会不等式、方程及函数之间的联系。

  一、内容与课程学习目

  本章主要学习描述不等关系的数学方法,一元二次不等式的解法及其应用,线性规划问题,基本不等式及其应用等,通过学习,要使学生达到以下目标:

  1.通过具体情境,感受在现实世界和日常生活中存在着大量的数量关系、了解不等式(组)的实际背景。

  2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程;通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系;会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,尝试设计求解的程序框图。

  3.从实际情境中抽象出二元一次不等式组;了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组;从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决。

  4.探索基本不等式的证明过程;会用基本不等式解决简单最大(小)值问题。

  二、内容安排

  本章共有4个小节,教学时间约需16课时,具体安排如下(仅供参考):

  3.1不等关系与不等式                               约2课时

  3.2一元二次不等式及其解法                         约3课时

  3.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题         约5课时

  3.4基本不等式:                       约3课时

  小结与复习                                         约3课时

  本章知识结构如下:

      

  1.依据课程标准中提出的“通过具体情境,感受在现实世界和日常生活中存在着大量的数量关系、了解不等式(组)的实际背景”的精神,教科书首先从学生熟知的平面几何基础知识和日常生活中经常用到的“长与短、”大与小、多与少、远与近等的比较及比较的结果入手,描述客观事物在数量关系上存在的不等关系。列不等式需要依据实际问题中存在的不等关系建立不等式。教科书通过用不等式(组)表示汽车的车速,产品质量检验中相关含量指标等例子,使学生感受到不等关系是通过不等式来表示的,理解不等式(组)对于刻划不等关系的意义和价值。进而,通过具有实际应用价值的问题,让学生在他们感兴趣的数学问题情境中,学习如何列不等式和不等式组。

  为了研究不等关系,教科书类比等式的性质给出了不等式的基本性质,并给出了不等式的基本性质(3)的证明。

  3.1节例1的证明过程中先后利用了不等式的基本性质(3)(4),目的是引导学生体会不等式的基本性质在证明中所起的作用。

  2.对于一元二次不等式及其解法,教科书仍然结合实际问题展开,从学生感兴趣的上网收费问题说起,通过对两种收费标准下的收费情况的比较,抽象出不等关系,并引出了一元二次不等式的概念。为了得到问题的答案,引出了解不等式及不等式的解集,并重点讨论了列不等式和解不等式的问题。

  教科书通过观察具体的二次函数图象及与其相应的一元二次方程根的关系,推广出了一般的一元二次不等式解集的求法,并用框图的形式归纳了求解一元二次不等式的过程。

  在学生学习了一元二次不等式及其解法的基础上,为了解决生活中会遇到的各种不同的不等关系,本章再次结合实际例子引出了另一种不等关系的模型──二元一次不等式(组)和简单的线性规划问题。

  3.会用二元一次不等式(组)表示平面区域,能画出给定的不等式(组)表示的平面区域,是学习简单线性规划问题图解法的重要基础。教科书在第3.3节探求二元一次不等式所表示的平面区域时,先后以思考和探究的方式提出问题,从研究具体的不等式的解集所表示的平面区域入手,讨论直线的一侧点的坐标与不等式的关系,由此推广到一般的二元一次不等式(或)表示的平面区域,并得到了二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的交集的结论。3.3节的重点是二元一次不等式(组)表示平面区域,比较困难的是把实际问题转化成线性规划问题,解决这一困难的关键是根据实际问题中的已知条件,找出约束条件和目标函数,利用图解法求得最优解,问题的解决体现了数形结合的重要数学思想。

  4.对于基本不等式,教科书结合北京召开的第24届国际数学家大会的会标,联系我国古代数学家赵爽的弦图,用数学史实恰时恰点的对学生进行爱国主义教育,紧紧抓住弦图中相关面积间存在的数量关系,得到了不等式,还用分析法以填空的形式给出了证明,并通过两个实际问题的例题,说明了不等式的实际应用,感受数学的应用价值。

  三、编写中考虑的几个问题

  1.加强与实际问题的联系

  本章一开始的章头图是一幅山峦重叠起伏的壮观画面,给学生带入“横看成岭侧成峰,远近高低各不同”的大自然中,使学生在具体情境中感受到不等关系在现实世界和日常生活中大量存在着,由此产生用数学研究不等关系的愿望。

  不等关系是从日常生活中经常用到的长与短、大与小、多与少、远与近等的比较及比较的结果引入的;不等式及不等式组的建立是在对实际问题1、2、3逐一分析的基础上列出的。

  教科书通过学生感兴趣的上网问题及大家关注的计时收费问题引入一元二次不等式的有关概念,通过让学生比较两种不同的收费方式,从中认识到学习不等关系及不等式的必要性。从银行贷款中的资金分配问题中引入二元一次不等式组的数学模型,从现实生产、生活中,经常遇到的资源利用、人力调配、生产安排等问题中引入二元线性规划问题。线性规划是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支,它能解决科学研究、工程设计、经济管理等许多方面的实际问题。通过这部分内容的学习,使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用,以培养学生学习数学的兴趣、应用数学的意识和解决实际问题的能力。

  对于不等式,教科书结合北京召开的第24届国际数学家大会的会标,联系我国古代数学家赵爽的弦图,紧紧抓住弦图中相关面积间存在的数量关系来加以引入。

  教科书对本章各节中引入的实际问题,在学习了一元二次不等式的解集,二元一次不等式组表示的平面区域,及用基本不等式: 求最大(小)值等内容的基础上,都一一给出了解答,使学生认识到,数学问题源于生活且用于生活,学好数学目的在于应用。

  2.注重让学生体验数学知识的形成过程

  一元二次不等式解集的求法对学生而言并不会感到困难,但理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集之间的关系,则要经历观察、思考、探究的过程。教科书遵循人们认识事物的一般规律,从具体的二次函数与一元二次方程的关系出发,利用二次函数图象的直观性,借助方程的根是二次函数的两个零点,引导学生观察二次函数图象上任意一点P(x,y)在图象上移动,随着点P的横坐标x变化,点P的纵坐标y的变化情况,在获得感性认识的前提下,归纳出一元二次不等式解集的求法,进而由特殊推广到一般。

  同样,对于二元一次不等式组表示的平面区域问题,教科书引导学生进行探究探究讨论直线的一侧点的坐标与不等式的关系。在此基础上理解二元一次不等式组表示的平面区域问题。

  教科书中“错在哪儿”栏目,提出的问题具有思考性又具有挑战性。对于同一道习题得到不同的答案的类似的问题情境学生常常经历,也常常给学生带来困惑,引导学生辨析纠错,有利于培养学生思维的深刻性和反思意识。

  另外,本章教材先后两处在正文中以填空的形式呈现教材内容。一处是用框图表示求解一元二次不等式的过程,框图留有空格由学生填充,另一处是用分析法证明基本不等式。这样编写的目的在于要实实在在的体现变教学活动为学生的思维活动,留给学生思维的空间。

  3.重视数学思想方法的运用

  本章教材重视利用函数图象及坐标系中坐标、平面区域的直观,为学生创设观察、比较、归纳、探究的问题情境,将数形结合的数学思想贯穿于全章,这是帮助学生学好本章的一个关键。例如,在求一元二次不等式解集的过程中,教科书在画出二次函数图象,借助图象的直观,通过观察图象上任意一点P(x,y)横、纵坐标变化情况得到一元二次不等式解集,在这一过程中,学生既发现了二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集间的联系,又对一元二次不等式的解集有了直观的理解。又如,对于简单的线性规划问题,教科书借助直观的平面区域的几何背景,帮助学生理解二元一次不等式组的解集这样比较抽象的概念。对于线性规划问题的最优解,教科书借助直线的截距概念,使原本较为复杂的线性规划问题变得易于理解和易于操作。

  对教学的几个建议

  1.准确把握教学要求

  总体上说,本章内容从以往比较关注不等式的解法转变到了强调不等式是刻画和描述现实世界中事物不等关系的一种工具,是描述刻画优化问题的一种数学模型。淡化了解不等式的技巧性要求,突出了不等式的实际背景及其应用。

  对于一元二次不等式,教学中要把学生“经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程”的要求放在首位,同时要强调“通过函数图像了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系”,充分注重数形结合,而对一元二次不等式的求解不要过分展开,只要达到最基本要求即可,值得关注的是算法思想的融入,设计求解一元二次不等式的程序框图是以往教科书中没有的。教学中要充分重视与算法的结合问题,因为这不但是使算法找到了用武之地,而且对学生认识不等式的结构也有很大帮助。

  教科书将最简单的线性不等式组——二元一次不等式组作为不等式部分的重要内容,并将其作为刻画区域的工具,为解决简单的线性规划问题做铺垫。同样的,教学中要强调从实际情境中抽象出二元一次不等式组模型,而不是像以往那样从纯数学角度提出问题。对不等式组,要强调其几何意义,使学生能用平面区域表示二元一次不等式组。这种从点与数对的对应,线与方程的对应,到平面区域与不等式组的对应的过渡和提升,能使学生进一步体会到数形结合思想的实质及其重要性,也是体现数形结合的好素材。

  线性规划是数学应用的一个最重要内容之一,其问题本身以及解决问题的方法促进了许多数学多分支的发展,其蕴涵的优化思想方法是数学中的基本思想方法。教学中应当强调借助几何直观解决一些简单的线性规划问题,引导学生体会线性规划的基本思想,要避免引入过多名词。

  线性规划的丰富案例体现了数学的应用正在不断地渗透到社会生活的方方面面。数学思想蕴涵于案例之中,教学中要充分关注案例的作用。除了教科书中的例子外,教学中可举一反三,引导学生自己搜集一些实际问题,使学生通过一定的训练,掌握简单的二元线性规划问题的解法。教学中还应引导学生从社会生产、生活实际中提取可以归结为二元线性规划的问题并加以解决。

  均值不等式 ( )的教学,要强调让学生探索并了解基本不等式的证明过程,在此基础上,用基本不等式解决简单的最大(小)的值问题。这里要突出求解不等式模型的基本方法,防止陷入“烦琐的计算、人为技巧化的难题”,不要“过分强调细枝末节的内容”。

  2.加强与现实及相关内容的联系性

  教学中要加强“不等关系是客观事物的基本数量关系”的认识,把不等关系及不等式的教学建立在实际问题的背景之上。教学中可以引导学生进一步挖掘一些感兴趣的和富有时代感的素材,通过分析其中的基本数量关系,以加深学生对用不等式刻画现实世界中的不等关系的认识。

  在不等式的教学中,要注意不等式与等式的类比,通过类比,使学生认识不等式及其性质与等式及其性质之间的相同点与不同点。另外,还要注意加强与函数、方程的联系,积极渗透算法思想。

  不等式、一元二次不等式、二元一次不等式组都是解决实际问题的重要数学模型,教学中应强调它们在解决实际问题中的工具作用,渗透建立数学模型的思想。

  3.重视信息技术的使用

  在本章中,信息技术的介入,可以为求解不等式的过程提供形象、快捷的技术支持,可以显现那些有丰富内涵的不等式的几何背景,为传统教学中抽象思维的培养注入形象思维的活力。特别是在二元一次不等式组与简单线性规划问题的教学中,计算器及计算机可以为研究二元一次不等式组的解集表示的平面区域和简单的线性规划问题提供试验探索平台,学生可以利用技术,按照各自的想法在实际操作中体验数学活动,在观察坐标的连续变化的具体情境中,分析引起数量关系产生变化的原因,发现各数学对象之间的逻辑关联,从动手实践、观察猜想中发现规律。这样对学生数学思维的完整性、连续性是很有益的。

    
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