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  数列作为一种特殊的函数,是反映自然规律的基本数学模型。根据课程标准的要求,在本章中,学生将通过对日常生活中大量实际问题的分析,建立等差数列和等比数列这两种数列模型,探索并掌握它们的一些基本数量关系,感受这两种数列模型的广泛应用,并利用它们解决一些实际问题。

  一、内容与课程学习目标

  本章的主要内容是数列的基本概念、等差数列和等比数列以及它们的一些基本数量关系。通过本章学习,要使学生达到如下学习目标:

  1.通过日常生活中的实例,了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式),了解数列是一种特殊函数.

  2.通过实例,理解等差数列、等比数列的概念;探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和的公式;能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系或等比关系,并能用有关知识解决相应的问题.体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系.

  二、内容安排

  本章共有五节内容,教学时间约需12课时,具体安排如下(仅供参考):

  2.1数列的概念与简单表示法                         约2课时

  2.2等差数列                                       约2课时

  2.3等差数列的前n项和                             约2课时

  2.4等比数列                                       约2课时

  2.5等比数列的前n项和                             约2课时

  小结与复习                                      约2课时

  本章的知识结构如下:

     

  1.本章是通过对一般数列的研究,转入对两类特殊数列──等差数列、等比数列的通项公式及前n项求和公式的研究的。教科书首先通过三角形数、正方形数的实例引入数列的概念,然后将数列作为一种特殊函数,介绍了数列的几种简单表示法(列表、图象、通项公式)。作为最基本的递推关系──等差数列,是从现实生活中的一些实例引入的,然后由定义入手,探索发现等差数列的通项公式。等差数列的前n项和公式是通过的高斯算法推广到一般等差数列的前n项和的算法。与等差数列呈现方式类似,等比数列的定义是通过细胞分裂个数、计算机病毒感染、银行中的福利,以及我国古代关于“一尺之棰,日取其半,万世不竭”问题的研究探索发现得出的,然后类比等差数列的通项公式,探索发现等比数列的通项公式,接着通过实例引入等比数列的前n项求和,并用错位相减法探索发现等比数列前n项求和公式。最后,通过“九连环”问题的阅读与思考以及“购房中的数学”的探究与发现,进一步感受数列与现实生活中的联系和具体应用。

  2.人们对数列的研究有的源于现实生产、生活的需要,有的出自对数的喜爱。教科书从三角形数、正方形数入手,指出数列实际就是按照一定顺序排列着的一列数。随后,又从函数的角度,将数列看成是定义在正整数集或其有限子集上的函数。通过数列的列表、图象、通项公式的简单表示法,进一步体会数列是一种函数,是刻画离散过程的一种重要数学模型。

  教科书的这种编排和呈现方式,一方面可以让学生体会数列是一种特殊函数,加深对函数概念和性质的理解,对数列的本质有清晰的认识和把握;另一方面,通过数列概念引入以及数列应用的过程,体会数列问题的实际应用,提高对本章内容的学习兴趣,为下面将要开始的有关等差数列与等比数列的学习做好铺垫。

  3.等差数列在日常生活中有着广泛的应用,并且大量存在于学生周围.教科书首先从学生熟悉的四个实例入手,引出了等差数列的概念,并且结合实例(衬衫的尺码)对等差数列作了说明。随后由等差数列的概念导出等差中项的概念,然后推导出了等差数列的通项公式。

  这种通过对日常生活中大量实际问题的分析、建立等差数列模型的过程,加强了对等差数列基本概念、性质的理解,初步培养了学生运用等差数列模型解决问题的能力。

  用函数观点去看等差数列,可以帮助学生理解等差数列的本质:是在特殊定义域上的一次函数,通项公式就是这个特殊函数的解析式.2.2节例3和探究题注意到了等差数列与一次函数(包括代数式和图像)之间的联系。

  另外,有关等差数列的概念、通项公式的推导都是由归纳得到,对培养学生观察分析、探索归纳能力提供了很好的素材。

  4.对等差数列前n项和公式的推导及应用,体现了特殊到一般、一般到特殊的思想:

  教科书是从求1+2+3+…+100的高斯算法出发,并以1+2+3+…+n求和为过渡,目的是为了让学生发现等差数列任意的第k项与倒数第k项的和等于首项、末项的和这个规律。教科书给出的探究题就是为了让学生在前面基础上,把数列1+2+3+…+n内在的这种规律性推广到一般的等差数列,获得一般的等差数列求和思路。2.3节的例1突出了等差数列求和公式的实际应用;例3强调了等差数列前n项和公式与二次函数之间的关系,探究题是为了进一步认识等差数列前n项和公式是一个常数项为0的二次函数,例4是对等差数列前n项和公式性质(二次型)的一个应用。从特殊到一般,可以帮助学生获取一般等差数列求和思路;从一般到特殊,可以使学生应用等差数列求和公式解决一些实际问题,使其来于实际,用于实际。

  5.与等差数列类似,等比数列概念的引入也是通过日常生活中的实例抽象出了等比数列的模型。2.4节所列的4个背景实例和所传达的思想为:
  

1. 细胞分裂模型

生命科学中的数列模型;类似的有人口增长的模型

2.《庄子》中“一尺之棰”的论述

中国古代学者的极限思想

3. 计算机病毒的传播

计算机科学中的数列模型;计算机病毒的危害;

 

  “指数爆炸”的例子

4. 储蓄中复利的计算

日常经济生活中的数列模型


  这4个实例,既让学生感受到等比数列也是现实生活中大量存在的数列模型,也让学生经历了从实际问题抽象出数学模型的过程。紧跟在实例之后的“观察”栏目,是为了给学生一定的思考和探索的空间,让他们自己通过观察、归纳、猜想等认识到等比数列的特性。等比数列的通项公式类比差数列通项公式的得出过程,用不完全归纳法得出。

  6.“为什么要求等比数列的前n项和呢”?2.5节开篇用诺贝尔奖金的计算问题——从奖金开始发放的第一年(1897)到今年(2004)所发放奖金的总额来引入了这个问题。等比数列前n项和公式的推导采用了“错位相减”的方法,其中体现了等比数列与指数函数、方程、程序框图中的循环结构等内容的前后联系。本节课后有关“九连环”的阅读与思考,进一步体现了从具体问题中抽象出数列模型,借助数列的相关知识解决问题的思想。

  三、编写中考虑的几个问题

  1.体现“现实问题情境——数学模型——应用于现实问题”的特点

  数列作为一种特殊函数,是反映自然规律的基本数学模型。教科书通过日常生活中大量实际问题(存款利息、放射性物质的衰变等)的分析,建立起等差数列与等比数列这两种数列模型。通过探索和掌握等差数列与等比数列的一些基本数量关系,进一步感受这两种数列模型的广泛应用,并利用它们解决了一些实际问题。教科书的这一编写特点,可由下面图示清楚表明:

  数列:三角形数、正方形数 数列概念 数列的三种表示 回归到实际问题(希尔宾斯基三角形、斐波那契数列、银行存款等)

  等差数列:4个生活实例 等差数列概念 等差数列通项公式 等差数列基本数量关系的探究(出租车收费问题等)

  前100个自然数的高斯求解 等差数列的前n项和公式等差数列数量关系的探究及实际应用(校园网问题)

  等比数列:细胞分裂、古代“一尺之棰”问题、计算机病毒、银行复利的实例等比数列概念等比数列的通项公式等比数列基本数量关系的探究及实际应用(放射性物质衰变、程序框图等)

  诺贝尔奖金发放金额问题 等比数列前n项和公式 等比数列基本数量关系探究及实际应用(商场计算机销售问题、九连环的智力游戏、购房中的数学等)

  教科书的这种内容呈现方式,一方面可以使学生感受数列是反映现实生活的数学模型,体会数学是来源于现实生活,并应用于现实生活的,数学不仅仅是形式的演绎推导,数学是丰富多彩而不是枯燥无味的;另一方面,这种通过具体问题的探索和分析建立数学模型、以及应用于解决实际问题的过程,有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断,提高数学地提出、分析、解决问题的能力,提高学生的基本数学素养,为后续的学习奠定良好的数学基础。

  2.加强数学知识内容之间的相互联系

  数学学习绝不是孤立的学习。数学学习的联系性表现为两个方面,一方面是数学与现实生活的联系,我们称为数学外部的联系;另一方面是数学内部之间的联系,表现为数学知识内容之间的相互联系。本章数列与其他知识内容的联系,主要体现在:

  (1)数列与“函数”知识内容的联系

  数列可以看成是定义域为正整数集N*(或它的有限子集)的函数。当自变量顺次从小到大依次取值时对应的一列函数值,而数列的通项公式则是相应的函数解析式。由于数列的项是函数值,序号是自变量,所以以序号为横坐标,相应的项为纵坐标画出的图像是一些孤立的点,所以说数列是一类特殊的函数。本章内容的设计,突出了数列的这一函数背景,在通过实际问题引入数列概念后,教材对数列的函数背景进行了分析,指出通项公式实际可看作是数列的函数解析式。对两类特殊数列——等差数列与等比数列的概念、通项公式,求和公式的研究,也是类比函数展开的:首先,它们是特殊数列,也是特殊函数,等差数列实际是一次型函数,是最简单的递推数列,等比数列实际是指数型函数;其次,它们具有函数的一般性质,都借助了数形结合的思想研究问题,但研究的侧重点有所不同,函数侧重研究单调性、最值、奇偶性等,这两类数列侧重研究下标子数列或两个数列的合成的性质等。

  (2)数列与“算法”、“微积分”内容的联系

  首先,本章对数列内容的整体研究,体现了一种算法思想。具体而言,如对等差数列、等比数列前n项和公式的推导实际就是一种算法。前者是通过高斯算法推广到一般等差数列的前n项求和,后者是通过“错位相减”推导求得。

  其次,联系算法中的程序以及程序框图,对数列问题进行了研究。如P57例2、P65例3。

  另外,结合了微积分中的“分割、取值、近似求和”思想,对数列问题进行了研究。如P65例3中对区域面积的求和。

  3.加强学生的数学探索活动

  根据学习的现代建构理论,学生的数学学习是在已有认知的基础上,经过学习主体的主动建构产生的。数学学习不是简单的镜面式反映,而是经过观察、实验、猜测、归纳、类比、抽象、概括等过程,经过交流、反思、调整等完成的。本章内容的设计,充分体现了学生是学习的主体这一特点。例如:

  等差数列概念的教科书设置就是在对日常生活中大量实际问题分析的基础上,通过学生的观察、分析、猜想、归纳给出的,教科书对学生的自主性学习提供了一定时间和空间:在给出大量的生活实例之后,教科书没有立刻给出等差数列的概念,紧跟在实例之后的“观察”栏目,是为了给学生一定的思考和探索的空间,让他们自己通过观察、归纳、猜想等认识到等差数列的特性。通过对数列①、②、③、④共同特点的探索,学生可以发现这几个数列的前后项的差值都是一个常数(不同数列的常数可能不相同),从而总结出等差数列的一般概念。

  等差数列前n项和公式的导出也给学生留有了充分发挥和自主学习的空间。教科书是从求1+2+3+…+100的高斯算法出发,并以1+2+3+…+n求和为过渡,目的是为了启发学生

  发现等差数列任意的第k项与倒数第k项的和等于首项、末项的和这个规律。紧接的探究题是为了让学生在前面基础上,把数列1+2+3+…+n内在的这种规律性推广到一般等差数列,从而获得一般等差数列的求和思路。随后的思考题进一步给学生提供了反思、回味的空间和余地,对知识内容之间的相互联系以及深入理解公式,回顾、调整前面的思考过程,起到了很好的启发和引导作用。

  4.突出了数学思想方法的教学

  本章内容设置,突出了数学思想方法的教学,尤其突出了一般到特殊、特殊到一般,以及数列的函数思想、类比思想等。

  有关等差数列前n项和公式的推导及应用,就体现了特殊到一般、一般到特殊的思想:从特殊到一般,可以由前100个自然数求和的高斯算法过渡到一般等差数列求和思路的获得;从一般到特殊,可以使学生应用等差数列求和公式解决一些实际问题,使其来于实际,用于实际。

  函数思想、类比思想几乎贯穿整章内容。本章开始对数列概念的介绍,突出了数列的函数背景。对具体内容的展开,也充分体现了函数思想、类比思想:对两类特殊数列——等差数列与等比数列的概念、通项公式,求和公式的研究,是类比函数展开的;类比于实数的加、减、乘、除运算,等差数列与等比数列实际是对数列中的项施行加法、乘法运算得到的;类比等差数列的通项、性质、前n项和,可以得出对等比数列相应问题的研究;类比函数概念、性质、表达式,可以得出对数列、等差数列、等比数列相应问题的研究。函数思想、类比思想的运用,是本章设计的主要特色。

  另外,数形结合的思想、方程思想等,在本章也有体现。

  本章注重了数学思想方法的教学,注重了对学生从实际问题抽象出数列模型的能力的培养。而对涉及数列中各量之间基本关系的繁难的技能训练题目,要求有所降低,只要保证能达到基本技能训练目的就可以了。

  四、对教学的几个建议

  1.重视学生自主性学习能力和创新意识的培养

  自主性学习能力是一个人今后生存和发展的前提和先决条件,而适应未来社会发展要求的创新意识的培养又是现代社会培养人才的方向和目标。

  本章内容的设计,考虑到了培养学生的自主性学习能力和创新意识的社会要求,提供了可供学生自主探索的空间和余地。实际教学中,要让学生充分体验数学知识的形成过程,要尽可能的让学生经历观察、分析、猜想、抽象、概括、归纳、类比等发现和探索的过程,鼓励学生说出各种可能的设想和猜测。教师在教学中是组织者、引导者,要把人类已发现的这些“现成的数学”,经过教学法的加工,变为学生在教师指导下亲自“发现”的结论,也就是学生自己“做出来的数学”。这种亲身体验和经历的过程,如同是重新经历数学的发现过程,也就是学生的“再发现”过程,可以启迪学生发现问题、再创造的解决问题,为以后适应社会发展,解决面临的新问题、新情况做好基础的铺垫。

  本章教学要善于挖掘教材内容的延伸和拓广。如有关等差数列的前n项求和和等比数列的前n项求和,可以鼓励学生探索其他可能的解答思路。对教材中有关探索等差数列、等比数列的基本数量关系的题目,也可以有相应的问题拓展。这种已有资源的挖掘和拓广,对学生自主性学习能力的培养是很有好处的。

  2.重视探究题、练习题、阅读与思考、探究与发现等内容的学习

   本章的探究题、练习题、阅读与思考、探究与发现的内容素材很多是来源于古代或现实生活情境的题目,一方面加强了与实际生活的联系,另一方面可以提高学生学习本章内容的兴趣,教学中要注意相关内容的知识准备和问题解答和拓广的准备。

  这些题目设置的特点是贴近现实,有一定挑战性和趣味性,具体教学时,可以结合这些题目进行,如等比数列概念引入可以结合练习题中有关“古印度国王奖赏国际象棋发明者”的题目,以设置悬念,从而更加激发学生学习兴趣,调动学习积极性。

  3.重视本章内容与其他学习内容的联系,重视借助信息技术学习本章内容

   本章内容与函数、一次函数、指数函数、算法、微积分等内容都有直接联系,与物理、化学、生物、经济、天文、历法等领域也有关联,教学中既要注重数学知识内部的联系,也要结合其他学科,使学生体会到数列在现实生活中是有着非常广泛的应用的。

   为更好理解教学内容,可借助信息技术学习本章内容,除课本提供的有关信息技术的内容外,有条件的学校,可借助多媒体等展示例题、习题中的内容,通过现代教育技术手段,给学生展示一个更加丰富多彩的“数列”内容。

    
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