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  在平面几何和立体几何里,我们直接依据几何图形中点、直线、平面的关系研究几何图形的性质。现在采用另外一种研究方法:坐标法。坐标法是在坐标系的基础上,把几何问题转化成代数问题,通过代数运算研究几何图形性质的方法。它是解析几何中最基本的研究方法。

  解析几何是17世纪法国数学家笛卡儿和费马创立的。解析几何的创立是数学发展史上的一个里程碑,数学从此由常量数学进入变量数学时期。解析几何由此成为近代数学的基础之一。

  一、内容与课程学习目标

  本章我们在直角坐标系中,建立直线的方程,并通过方程研究直线的有关性质,如平行、垂直、两条直线的交点、点到直线的距离等。通过本章学习,学生应当达到的学习目标是:

  1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素。

  2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,经历用代数方法刻画直线斜率的过程,掌握过两点的直线斜率的计算公式。

  3.能根据斜率判定两条直线平行或垂直。

  4.根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),体会斜截式与一次函数的关系。

  5.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标。

  6.探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离。

  二、内容安排

  本章共分三节,大约需要9课时。具体课时分配如下(仅供参考):

  3.1  直线的倾斜角与斜率                              约2课时

  3.2  直线的方程                                      约3课时

  3.3  直线的交点坐标与距离公式                        约3课时

  小 结                                                 约1课时

  本章知识结构如下:

  从几何直观到代数表示

  (建立直线的方程)
  

  从代数表示到几何直观

  (通过方程研究几何性质和度量)
  
  

  1.“直线的倾斜角与斜率”首先探索平面直角坐标系中确定直线位置的几何要素--点和倾斜角。给出斜率的概念,并用代数方法表示它,导出用两点坐标表示斜率的公式,并根据直线的斜率判断两条直线平行与垂直。

  2.“直线的方程” 首先在直角坐标系中建立直线的方程,然后介绍直线方程的点斜式、两点式、一般式,最后得出结论:在平面直角坐标系中,一切直线的方程都是二元一次方程,二元一次方程表示直线。

  3.“直线的交点坐标与距离公式” 通过直线的方程研究两条直线的交点,并由此判断两条直线的位置关系:相交、平行及重合。通过点的坐标和直线的方程,导出两点间的距离、点到直线的距离以及两平行线间的距离。

  4.“探究与发现 魔术师的地毯”是一个非常有趣的素材,主要是让学生运用直线斜率的知识,看两条直线是否共线,进而探究0.01m2的地毯到什么地方去了?

  三、编写中考虑的几个问题

  1.贯穿“坐标法”的思想,突出解析几何解决问题的“三部曲”

  本章注意突出解析几何的基本思想“坐标法”:用方程表示直线,运用方程研究直线的位置关系:平行、垂直,以及两条直线的交点、点到直线的距离、两条平行直线之间的距离。几何问题代数化,用数量关系表示空间形式、位置关系等等。结合大量的例题,突出用坐标方法解决几何问题的“三部曲”:

  第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题;

  第二步:通过代数运算,解决代数问题;

  第三步:把代数运算结果“翻译”成几何结论。

  2.从一个或几个数学问题展开知识内容

  问题是数学的心脏。引入知识内容时,常设置一个或几个问题,创设一种情境,一方面引起学生的兴趣,另一方面引起学生解决问题的求知欲望。

  比如“3. 1.1 倾斜角与斜率”,提出了几个思考题:

  思考:对于平面直角坐标系内的一条直线l,它的位置关系由那些条件确定呢?

  思考:日常生活中,还有没有表示倾斜程度的量?

  3.关注结论形成的过程,通过思考、探究,得出结论

  本章在编写时注意呈现方式,不直接给出结论,让学生证明。而是把结论放在学生经过一系列数学活动之后,通过思考、探究,得出结论。比如,用“坐标法”解决问题的“三部曲”就是通过解决一系列问题后得出。在例题的呈现时,增加了分析的过程,重点分析解题的思路。

  4.充分利用教科书边空,提出具有一定思考价值的问题,强调重要的数学思想方法

  利用教科书边空不失时机地提出一些具有一定思考价值的问题,例如,“3. 2.1 直线的点斜式方程” 中的边空“截距是距离吗?” “3. 2.3 直线的一般式方程”中边空“分类讨论时,常按 分类,这样可以做到不重不漏。”等等。

  四、对教学的几个建议

  1.注意把握教学要求

  教学中,注意控制教学的难度,避免进行综合性强、难度较大的数学题的训练,避免在解题技巧上做文章。比如,义务教育阶段“空间与图形”部分涉及的许多结论都可以用坐标法来加以证明,而义务教育阶段的教学要求已经有所改变。因此,用坐标法证明平面几何题要求不宜过高,适可而止。

  传统的解析几何内容安排在三角函数后面,而现在安排在三角函数之前。当用到相关三角函数时,只在边空给出提示,让学生作为结论直接使用,不给出证明。例如, 。这些结论放在数学4时补证。

  2.关注重要数学思想方法的教学

  重要的数学思想方法不怕重复。《普通高中数学课程标准(实验)》要求“坐标法”应贯穿平面解析几何教学的始终,帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方法。在教学中应自始至终强化这一思想方法,这是解析几何的特点。教学中注意“数”与“形”的结合,在通过代数方法研究几何对象的位置关系以后,还可以画出其图形,验证代数结果;同时,通过观察几何图形得到的数学结论,对结论进行代数证明,即用解析方法解决某些代数问题,不应割断它们之间的联系,只强调“形”到“数”的方面。而忽视“数”到“形”的方面。

  3.关注学生的动手操作和主动参与

  学习方式的转变是课程改革的重要目标之一。教学中,注意提供充分的数学活动和交流的机会,引导他们在自主探索的过程中获得知识、增强技能、掌握基本的数学思想方法。 “观察”、“思考”、“探究”等栏目设置目的之一就是让学生参与到数学活动中来。

  4.关注信息技术的应用

  平面解析几何是一门典型的数与形结合的学科,信息技术在加强几何直观,促使数与形结合方面有着特殊的作用。借助信息技术,可以形象、直观地帮助学生认识所研究的直线。在动态演示中,观察直线的性质,在直观了解的基础上,寻求形成这些性质的原因以及代数表示。通过对方程的研究,了解直线与直线的关系时,运用信息技术,可以进一步验证得到的结果,为抽象的认识增添形象的支持。

    
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