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  “推理与证明”是数学的基本思维过程,也是人们学习和生活中经常使用的思维方式.推理一般指合情推理和演绎推理,证明通常包括数学中的演绎证明和实验、实践的证明.“标准”将“推理与证明”专设一章,这在我国高中数学课程中还是首次.通过本章的教学,不仅可以帮助学生进一步把握以前学过的证明方法,也可以让他们了解猜测的一般方法.

 

在本套教科书中,“推理与证明”分别是《选修1-2》和《选修2-2》中的一章,二者在内容和要求上基本相似,但不尽相同.相似之处是都将通过生活实例和数学实例,介绍合情推理和演绎推理的涵义,以及如何利用合情推理去猜测和发现一些新结论,探索和提供解决一些问题的思路和方向,利用演绎推理去进行一些简单的推理,证明一些数学结论,等等.本章还将介绍证明的两类基本方法——直接证明和间接证明,通过数学实例说明它们的思考过程和特点等.不同之处是《选修2-2》设置的例题、练习和习题的难度要求较高,而且在《选修2-2》中,学生还将了解数学归纳法的原理和简单应用.

 

一、内容与要求

 

1. 合情推理与演绎推理

 

结合已学过的数学实例和生活中的实例,了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,体会并认识合情推理在数学发现中的作用.

 

结合已学过的数学实例和生活中的实例,体会演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本方法,并能运用它们进行一些简单推理.

 

通过具体实例,了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.

 

2. 直接证明与间接证明

 

  结合已经学过的数学实例,了解直接证明的两种基本方法:分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程、特点.

 

  结合已经学过的数学实例,了解间接证明的一种基本方法——反证法;了解反证法的思考过程、特点.

 

3. 了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题(仅对理科学生).

 

4. 通过对实例的介绍(如欧几里得《几何原本》、马克思《资本论》、杰弗逊《独立宣言》、牛顿三定律),体会公理化思想.

 

二、内容安排及说明

 

1. 在《选修1-2》中,全章共有2个小节,教学时间约需10课时,具体内容和课时分配如下(仅供参考):

 

1.1 合情推理与演绎推理                        5课时

 

1.2 直接证明与间接证明                        4课时

 

小结                                          1课时

 

在《选修2-2》中,全章共有3个小节,教学时间约需8课时,具体内容和课时分配如下(仅供参考):

 

1.1 合情推理与演绎推理                        3课时

 

1.2 直接证明与间接证明                        3课时

 

1.3 数学归纳法                                2课时

 

小结                                                                                          

 

 

2.知识结构框图

 

 

       组织结构图

 

 

 

 

        组织结构图

 

 

3.对内容安排的说明

 

本章将介绍推理中的合情推理和演绎推理.数学发现的过程往往包含合情推理的成分,在人类发明、创造活动中,合情推理也扮演了重要角色.因此,分析合情推理的过程,对于了解数学发现或其他发现的过程是非常重要的.合情推理常用的思维方法是归纳和类比.归纳是由部分到整体、特殊到一般的推理,类比是由特殊到特殊的推理.与合情推理一样,演绎推理也是学生在学习和生活中经常使用的一种推理形式.特别地,数学证明主要通过演绎推理来进行.演绎推理的一般模式是“三段论”.

 

数学内部规律的正确性必须通过逻辑推理的方式证明,这正是数学区别于其他学科的显著特点.本章学习两类基本的数学证明方法:直接证明与间接证明.这部分的内容实际上是对学生已学过的基本证明方法的总结,因此学生并不陌生.本章介绍了直接证明的两种基本方法:综合法和分析法,间接证明的一种基本方法:反证法.

 

⑶ 数学归纳法是理科学生学习的内容,它也是一种直接证明的方法.与以往教科书不同的是,本章设置了相应的内容以帮助学生了解数学归纳法的原理.

 

三、编写时考虑的几个问题

 

1.以变分散为集中,变隐性为显性的方式讲推理和证明.

 

总体说来,本章的内容属于数学思维方法的范畴.教科书的编写意图是把过去渗透在具体数学内容中的推理和证明的思维方法,以集中的、显性的形式呈现出来,使学生更加明确这些方法,并能在今后的学习中有意识地使用它们.因此教科书尽量结合学生已学过的数学实例和生活实例,从中挖掘、提炼出推理和证明的含义,给出了一般性的定义,并画出流程图描绘推理和证明的过程,同时纠正可能犯的典型错误,为学生正确运用推理和证明解决问题做出示范.

 

2.紧密结合已学过的数学实例,避免空泛地讲数学思想方法.

 

这样的编写意图贯穿本章内容始终,具体体现在以下几个方面:

 

⑴ 以具体的例子为载体,讲推理的含义、方法,纠正典型错误等.

 

例如,教科书以数学史上著名的哥德巴赫猜想为背景引入归纳推理.哥德巴赫猜想的提出过程是一个典型的运用归纳推理的过程,教科书详细分析了猜想的提出过程,同时分析了其中的思维方法(即通过对有限的资料进行观察、分析、归纳整理,提出带有规律性的结论(猜想)),并从中提炼出了归纳推理的含义.

 

又如,为了说明运用类比推理发现数学结论的一般步骤,教科书设置了类比平面内直角三角形的勾股定理,猜想空间中四面体性质的例题.为了让学生充分感受和体验这一类比过程,教科书对推理的过程进行了详细的、有条理的分析.首先,分析勾股定理和直角三角形的特征及其之间的关系,以明确直角三角形和3个面两两垂直的四面体的相似特征,并画出表格将其列举出来;然后,类比勾股定理的结构,猜想对3个面两两垂直的四面体成立的等式S2S21S2 2S2 3

 

 回忆遇到过的证明过程,挖掘出证明方法的一般定义和特点.

 

例如,教科书先回顾了《数学5》中证明基本不等式的过程,然后总结了这类证明方法的特点,即从要证的结论出发,反推回去,寻求保证结论成立的条件,直到找到一个明显成立的条件为止,在此基础上,给出了分析法的定义和描述分析法证明过程的框图.

 

例题是以前所学的内容,通过挖掘、提炼、明确其中的推理方法或证明方法,详细分析推理的思路,体验证明方法的思考过程和特点.

 

例如,“证明函数 f(x)=x22x (1]上是增函数”是学生熟悉的证明问题,教科书的编写意图是挖掘其中所包含的推理思路,使学生明确演绎推理的基本过程,突出演绎推理中的“大前提”“小前提”和“结论”.应当说,许多学生能写证明过程但不一定非常清楚证明的逻辑规则,因此他们在表述证明过程时,往往显得随心所欲、杂乱无章.教科书试图通过这样的例题使这种状况得到改善.

 

3. 通过剖析生活实例中蕴涵的思维过程揭示数学思想方法.

 

推理与证明是人们在现实生活中必不可少的思维活动,因此除了数学实例外,教科书也列举了人们在生活中的某些思维过程并加以剖析,来帮助学生的理解.例如,数学归纳法的原理对于学生来说较为抽象,教科书就从“多米诺骨牌”讲起,借助这个游戏的设计理念揭示数学归纳法依据的两个条件及它们之间的关系.

 

四、对教学的几个建议

 

1. 推理教学的重点在于通过具体实例理解合情推理和演绎推理,而不追求对概念的抽象表述.

 

2. 证明的教学应引导学生认识各种证明方法的特点,体会证明的必要性,对证明的技巧性不宜作过高的要求.

 

3. 讲清楚数学归纳法的原理,但只需用数学归纳法证明一些简单的数学命题.

 

4. 注意文理差异.

    
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