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  微积分的创立是数学发展中的里程碑,它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期,为研究变量和函数提供了重要的方法和手段.导数、定积分都是微积分的核心概念,它们有极其丰富的实际背景和广泛的应用.在选修模块中,学生将学习导数和定积分的有关知识,体会其中蕴含的思想方法,感受它们在解决实际问题中的作用,了解微积分的文化价值。

 

    一、内容与要求

 

选修1-1

选修2-2

内容

导数概念及其几何意义;基本初等函数导数公式和导数的四则运算法则;函数的单调性与导数的关系;函数在某点取得极值的充要条件;生活中的优化问题举例。

导数概念及其几何意义;基本初等函数导数公式和导数的四则运算法则;函数的单调性与导数的关系;函数在某点取得极值的充要条件;生活中的优化问题举例;定积分的概念;微积分基本定理。

 

 

 

 

 

 

 

1)了解导数概念的实际背景,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵。

 

2)直观理解导数的几何意义。

 

3)能根据导数定义,求函数的导数。

 

4)能利用给出的基本初等函数的导数公式和四则运算法则求简单函数的导数。

 

5)直观了解函数的单调性与导数的关系,会求不超过三次的多项式函数的单调区间。

 

6)了解函数在某点取得极值的充要条件;会用导数求不超多三次的多项式函数的极值,以及在给定区间上不超多三次的多项式函数的最值。

 

7)体会导数在解决实际问题中的作用。

 

8)体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。

 

 

1)了解导数概念的实际背景,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵。

 

2)直观理解导数的几何意义。

 

3)能根据导数定义,求函数的导数。

 

4)能利用给出的基本初等函数的导数公式和四则运算法则求简单函数的导数。能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax+b))的导数。

 

5)直观了解函数的单调性与导数的关系,会求不超过三次的多项式函数的单调区间。

 

6)了解函数在某点取得极值的充要条件;会用导数求不超多三次的多项式函数的极值,以及在给定区间上不超多三次的多项式函数的最值。

 

7)体会导数在解决实际问题中的作用。

 

8借助几何直观体会定积分的基本思想,初步了解定积分的概念。

 

9直观了解微积分基本定理的含义。

 

10体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。

   

 二、内容安排与说明

 

1.内容安排

 

从上面的内容与要求可以看到,与选修1-1(文科)相比,选修2-2(理科)增加了定积分的概念与微积分基本定理等内容。相应地,选修1-1教科书中导数及其应用一章约16课时,选修2-2教科书中导数及其应用一章约24课时。以选修2-2为例,课时具体分配如下:

 

1.1 变化率与导数                   约4课时

 

1.2 导数的计算                                        约3课时

 

1.3 导数在研究函数中的应用                            3课时

 

1.4 生活中的优化问题举例                              4课时

 

1.5 定积分的概念                                      4课时

 

1.6 微积分基本定理                             约2课时

 

1.7 定积分的简单应用                                  2课时

 

实习作业                                          1课时

 

小结                       约1课时

 

    2.对内容安排的说明

 

1)导数概念是微积分的基本概念之一,它有着丰富的实际背景。教科书选取了两个典型的变化率问题,从平均变化率到瞬时变化率定义导数。在此基础上,教科书借助函数图象,运用观察与直观分析阐明了曲线的切线斜率和导数间的关系。同时,教科书还注重渗透和展现其中蕴含的丰富思想,如逼近、以直代曲等。

 

2)在导数的计算一节,教科书先根据导数定义求出几个常见函数的导数,以让学生进一步理解导数的概念;然后,教科书直接给出基本初等函数的导数公式和导数的运算法则,本节的重点在于让学生会使用这些公式与法则求简单函数的导数。

 

3)导数是研究函数的有力工具,教科书主要介绍了如何用导数研究函数的单调性,如何用导数求函数的极大(小)值和最大(小)值。其中,运用导数研究函数的单调性是本节的基础。

 

4)教科书选取了三个生活中的优化问题:如何设计海报、饮料瓶大小对公司利润的影响、磁盘的最大存储量,以说明如何通过建立这些问题的数学模型,运用导数这个工具解决生活中的优化问题。

 

5)在引导学生认识定积分概念的过程中,教科书利用求曲边梯形的面积、变速直线运动的路程这两个典型问题,着重揭示出“以直代曲”“以不变代变”和“逼近”这些重要的思想方法,给出求解这类问题的一般步骤,进而引出定积分的定义和几何意义.

 

6)教科书引导学生分析分别用变速直线运动的“位置函数”s=s(t)及其导数(“速度函数”)表示物体在某一时间段内的位移的方法,使学生体会微积分基本定理的内涵,了解导数和定积分之间的内在联系

 

(7)教科书介绍了定积分在求一些简单平面图形的面积、变速直线运动的路程以及变力作功中的应用,使学生进一步体会定积分丰富的背景和广泛的应用.

 

三、编写中考虑的几个问题

 

1.突出概念本质

 

导数和定积分都是微积分中的核心概念。导数就是瞬时变化率,是平均变化率有确定(的)变化趋势的结果,蕴含了由均匀变化研究不均匀变化,通过一个小的区域研究一点的性质,由一点的性质估计此点附近的性质等基本思想;定积分概念中最本质的思想是在局部小范围内“以直代曲”“以不变代变”。

 

教科书编写的重点就是突出概念的本质思想,并没有从数学定义的角度讲极限,而是通过对跳水运动的研究,引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程,从中引出导数;通过解决曲边梯形的面积给出解决这类问题的一般步骤(分割、近似代替、求和、取极限),从而揭示出定积分的思想,引入定积分的概念。这样,可以避免学生难以克服极限概念的理解这个问题,从而将更多的精力关注于导数和定积分概念本质的理解上,而不单单地将导数和定积分理解为一种特殊的极限。虽然教科书没有给出极限的定义,但是自始至终都体现出了极限的思想,以让学生在学习的过程中以具体内容为载体,逐步体会和感受极限思想,从而为大学阶段学习严格的极限定义打好基础。

 

同时,教科书对概念的表示、公式的推导、运算法则等都作了淡化处理,以突出对概念内涵的理解。

 

2.重视直观、强调背景、体现应用

 

在学生初次接触微积分的概念时,给学生一个形象直观的背景支持,使学生充分认识

 

导数和定积分的几何意义和物理意义,对于学生正确理解概念、建立概念的抽象定义都是非常重要的。在编写过程中,教科书在这方面作了较大的努力。例如,借助于过一点的曲线割线到切线的变化过程,展示平均变化率到瞬时变化率的过程;导数的运算中,求出导函数后,给出相应的几何意义和物理意义的解释;解决曲边梯形面积的每一步,始终是数值计算与图形分析相结合;提供利用导数几何意义和定积分几何意义解决问题的机会;等等。

 

微积分的思想来源于实践,反过来又服务于实践。教科书强调概念的背景及其在不同

 

方面的应用。因此,教科书选取了与生活实际密切相关的,现实世界中比较常见的素材,例如,气球的膨胀率、高台跳水运动、净化水费用、国内GDP增长率、工厂“三废”(废物、废水、废气)排污率、城市绿地面积的增长率、人口增长速度、汽油的使用效率、饮料瓶的大小对饮料公司利润的影响等,通过这些素材来引发学生学习微积分的兴趣,展现概念的发生、发展过程,反映微积分的应用,从而使学生感受微积分与科技、社会以及自己的生活的紧密关系。

 

3.关注微积分的文化价值

 

微积分的创立是数学发展中的里程碑,它的发展及其广泛应用开创了向近代数学过渡

 

的新时期,它为研究变量与函数提供了重要的方法和手段。教科书在不同的时机让学生通过了解微积分的发展史。例如,在引言中介绍了与微积分紧密相关的“四大问题”,阐述了微积分在人类科学发展史上的地位,对微积分的意义和作用也作了介绍;通过拓展性栏目,给学生介绍牛顿法,展示导数在科学研究中的作用;通过实习作业,让学生收集微积分创立和发展的有关材料,让学生体会微积分在数学和科学思想史上价值。

 

   四、对教学的几个建议

 

1.关于极限概念的处理

 

一般地,导数概念学习的起点是极限,即从数列数列的极限函数的极限导数。这种概念建立方式具有严密的逻辑性和系统性,但是也产生了一些问题:就高中学生的认知水平而言,他们很难理解极限的形式化定义。由此产生的困难也影响了对导数本质的理解。因此,教科书没有介绍任何形式的极限定义及相关知识,而是从变化率入手,用形象直观的“逼近”方法定义导数,用“趋近于”、“无限逼近于”、“趋于”、“无限变小”等通俗易懂的词对极限的过程进行描述。这样一来,其一,避免学生认知水平和知识学习间的矛盾;其二,将更多精力放于导数本质的理解上;其三,学生对逼近思想有了丰富的直观基础和一定的理解,有利于在大学的初级阶段学习严格的极限定义。

 

在教学中值得注意的是,教科书编写的重点在于理解概念的内涵和基本方法,并不追求理论上的严密性和过多的技巧,建议教学时充分关注这一点,将教学重点放在概念内涵的理解上。

 

2.把握好教学要求

 

在导数及其应用的教学中,应该特别注意把握内容的教学要求,除了上述提及的极限问题,还有以下两个方面。

 

   (1)避免过量的形式化的运算练习

 

    关于导数的计算,有两种方法,一是用导数定义计算函数的导数,二是用基本初等函数的导数公式和四则运算法则计算函数的导数。值得注意的是,由于没有介绍极限知识,因此第一种方法只是用导数方法计算四个函数(选修2-2是五个函数)的导数,目的在于让学生在感受用定义求导数的过程中进一步理解导数;第二种方法是教科书直接给出了导数公式和运算法则,并没有进行公式推导,也不要求推导,只是会用它们进行简单的计算即可。

 

    对于定积分,教科书给出的用定义计算定积分的函数都非常简单,而且和导数一样,这种计算方法的目的在于让学生了解定积分的概念。利用微积分基本定理计算定积分的基础是导数公式,由于导数公式有限而且没有讲原函数等知识,故对于定积分的计算要求很简单,基本上都是一些通过观察能想到原函数的函数。

 

    因此,在教学中关于导数和积分的计算要求一定要把握好,避免过量、复杂的形式化练习,防止将导数和积分作为一些规则和步骤来学习,而忽略了它们的思想和价值。

 

  (2)控制应用的广度与深度

 

    无论是导数还是定积分,都加强了它们在数学内部和外部的应用,教科书也选用了大量不同方面的例子。但是,应用的目的是让学生体会到微积分方法在研究某些问题中的一般性和有效性,感受到微积分的价值和作用。因此,在教学中控制应用的广度和深度,避免陷入其中偏离主题。例如,在用导数求函数极(最)值时,将函数控制在不超过三次多项式;利用定积分计算简单的平面图形的面积,不涉及旋转体;关于生活中的问题,尽量选取背景比较简单,学生比较熟悉的物理问题,像膨胀率、速度、温度变化、变力作功等。

 

3.信息技术的使用

 

信息技术工具在导数及其应用的学习中有很大的作用,发挥的空间很开阔。如果有条件,我们希望在教学中适时地使用信息技术,充分发挥信息技术的优势,帮助学生更好地理解概念。例如,利用信息技术的图形功能,演示割线的动态变化趋势,会对学生认识导数的几何性质非常有帮助;将函数曲线某一点附近的图象放大得到一个近景图,学生就会看到,图象放得越大,这一小段曲线看起来就越象直线,这有助于学生更好地体会以直代曲的思想;当n发生变化时,信息技术能有效地显示出数值和图形的变化,让学生更好地体会求曲边梯形面积的基本步骤“分割、近似代替、求和、取极限”,从而感受以直代曲、逼近等思想。

    
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