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  变换是数学的重要工具,也是数学学习的主要对象之一。代数变换是学生熟悉的,与代数变换一样,三角变换也是只变其形不变其质的,它可以揭示那些外形不同但实质相同的三角函数式之间的内在联系。在本册第一章,学生接触了同角三角函数式的变换,在本章,学生将运用向量方法推导两角差的余弦公式,由此出发导出其他的三角恒等变换公式,并运用这些公式进行简单的三角恒等变换。通过本章学习,学生的推理能力和运算能力将得到进一步提高。

 

一、内容与课程学习目标

 

本章学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦和正切公式,以及运用这些公式进行简单的三角恒等变换。

 

通过本章的学习,要引导学生:

 

1.经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程,进一步体会向量方法的作用。

 

2.能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系。

 

3.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括尝试导出积化和差、和差化积、半角公式,但不要求记忆),通过这些基本训练,使学生进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性,体会一般与特殊的关系与转化、换元思想、方程思想等在三角恒等变换中的作用。

 

4.在学习三角恒等变换的基本思想和方法的过程中,发展推理能力和运算能力。

 

二、内容安排

 

本章包含2节,教学时间约8课时,具体分配如下(仅供参考):

 

3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式      约4课时

 

3.2简单的三角恒等变换                    约3课时

 

小结                                      约1课时

 

本章知识结构如下:

 

   

 

和(差)角公式的逻辑联系图:

    

1.本章内容的认知基础是代数变换与同角三角函数式的变换。与其他数学变换一样,三角恒等变换也包括变换的对象、目标以及变换的依据和方法等要素。三角恒等变换的基本目标是由含有一个角的三角函数式拓广到包含两个角的三角函数式,因此建立一套含有两个角的三角函数式的变换公式就是本章的首要任务,这也是第一节的中心内容。

 

为了引起学生对本章内容的学习需要,同时为了加强三角变换的实际应用,本章的开篇从一个实际问题出发,通过数学化,得到一个必须通过三角变换才能解决的数学问题,从而激发学生对本章内容的学习兴趣和求知欲。

 

2.由于角的和、差、倍之间有内在联系并可以相互转化,因此它们的三角函数之间也必然存在紧密联系,这样,我们可以利用这种联系性,在获得其中一个公式的基础上,通过角的形式变换,用逻辑推理的方法而得到其他公式。

 

那么,应当以哪一个公式作为基础呢?过去的教材曾经进行过许多探索,其基本出发点都是努力使公式的证明过程尽量简明易懂,易于被学生所接受。这里,我们以向量为工具,选择了两角差的余弦公式作为基础。应当说,这样处理使得公式的得出成为一个纯粹的代数运算过程,大大降低了思考难度(尽管同时也失去了一些对学生进行数学思维训练的机会)。

 

另外,对于众多公式的推导顺序,也可以有多种不同安排。本章中先探索出了两角差的余弦公式,然后以它为基础,推导出其他公式,具体过程如下:

 

 

实际教学中,教师可以根据学生情况,对公式的推导顺序作出自己的选择。

 

3.本章内容安排考虑的另一个重要问题是如何引导学生在学习三角变换的过程中发展推理能力与运算能力,这种对能力培养的要求不仅体现在应用公式进行变换的练习中,而且也体现在公式的推导过程中。因此,全章始终注意通过恰时恰点的问题,引导学生用类比、联系、化归的观点分析与处理问题,引导学生逐渐明确三角变换不仅是三角函数式的结构形式变换,而且还有角的变换,以及不同三角函数之间的变换,使学生领悟有关公式在变换中的作用和用法,学会用恰当的数学思想方法指导选择和设计变换思路。

 

4.本章内容安排中,认真贯彻了“标准”提出的“删减繁琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末节的内容”的要求,严格控制三角恒等变换及其应用的难度,把过去作为变换依据的半角公式、和差化积公式、积化和差公式等,处理成为三角变换的基本练习。

 

三、编写中考虑的几个问题

 

1.削枝强干,精简内容。

 

把重点放在两角差的余弦公式的推导,以及通过它推出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦和正切公式,并形成对这些公式内在联系性的认识,把半角公式、积化和差、和差化积公式作为三角恒等变换的基本训练。经过这样的处理,减少了三角变换所需要的课时数(从过去的11课时左右减为现在的8课时)。

 

2.突出数学思想方法,在类比、推广、特殊化等一般逻辑思考方法上进行引导。

 

本章不仅关注使学生得到和(差)角公式,而且还特别关注公式推导过程中体现的数学思想方法。例如,在两角差的余弦公式这一关键性问题的解决总体现了数形结合思想以及向量方法的应用;从两角差的余弦公式推出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦和正切公式的过程中,始终引导学生体会化归思想;在应用公式进行恒等变换的过程中,渗透了观察、类比、推广、特殊化、化归等思想方法。特别是充分发挥了“观察”“思考”“探究”等栏目的作用,对学生解决问题的一般思路进行引导,这对学生养成科学的数学思考习惯能起到积极的促进作用。另外,还在适当的时候对三角变换中的数学思想方法作了明确的总结。例如,在旁白中有“‘倍’是描述两个数量之间关系的,2αα的二倍……的二倍,这里蕴含着换元的思想”“这两个式子的左右两边在结构上有什么不同”等,这些都是为了加强思想方法而设置的。

 

3.以问题为引导,加强过程与联系,切实改进学生的学习方式,提高学生的数学能力。

 

为了激发学生的自主探究、动手实践等的积极性,发挥学生学习的主动性,使学生学习方式的改进得到落实,本章设置了许多思考性问题和旁注,用以启发学生思考,提示关键所在,这样做,既能为学生深刻理解所学内容创造条件,又能鼓励学生在学习过程中养成独立思考、积极探索的习惯,从而使得学生学习方式的改进得到具体落实,并切实提高学生的思维能力。例如,在两角差的余弦公式的推导过程中,以“如何用任意角αβ的正弦、余弦值来表示?”“你认为要获得相应的表达式需要哪些已经学过的知识?”“以上推导是否有不严谨之处?若有,请做出补充”等问题,引导学生开展独立思考;又如,在由两角差的余弦公式推导其他公式的过程中,先由“用诱导公式可以实现正弦函数、余弦函数的互化,你能根据及诱导公式推导出吗”等对学生的思路进行引导,然后以“留空”的方式让学生自主推导出有关公式。

 

四、对教学的几个建议

 

1.精心搞好教学设计,突出重点,突破难点。

 

本章内容的重点是两角差的余弦公式的推导及在推导过程中体现的思想方法,同时它也是难点。为了突出重点、突破难点,教学中可以设计一定的教学情景,引导学生从数形结合的角度,利用单位圆中的三角函数线、三角形中的边角关系等建立包含αβαβ的正弦、余弦值的等量关系。这个过程比较复杂,而且难度也比较大,但对理解公式的结构特征有促进作用,另外还能激发学生探索简便方法的欲望。

 

前一章中,教科书已经明确指出,向量的数量积是解决距离与夹角问题的好工具,在两角差的余弦公式的推导中正好能够体现它的力量。由于学生刚接触向量,他们还不太习惯用向量工具解决问题,因此这里需要教师作引导。教学时应当注意三个要点:

 

(1)在回顾求角的余弦的方法时,有意识地提醒学生联想向量方法;

 

(2)充分利用单位圆,分析其中有关几何元素(角的终边及其夹角)的关系,为向量方法的运用做好准备;

 

(3)探索过程的安排,应当先把握整体,然后逐步追求细节。具体的,教科书的安排是先由图3.1-3(P.140)得出一个公式,然后通过问题“以上推导是否有不严谨之处?若有,请做出补充”,引导学生补充细节。在补充完善的过程中,需要运用分类讨论思想及诱导公式。

 

突破了两角差的余弦公式的推导这一难点后,其他所有公式都可以通过学生自己的独立探索而得出。

 

2.准确把握教学要求。

 

与以往的三角恒等变换学习相比较,“标准”强调了用向量方法推导差角的余弦公式,以用三角函数之间的关系推导和(差)角公式、二倍角公式,其他公式(积化和差、和差化积、半角公式等)都处理成为三角恒等变换的基本训练。这样的安排,把重点放在培养学生的推理能力和运算能力上,而对变换的技巧性要求大大降低。教学时应当把握好这种变化,遵循“标准”所规定的内容和要求,不要随意补充已被删简的知识点(如半角公式、积化和差与和差化积公式只是作为基本训练的素材,结果不要求记忆,更不要求运用),也不要引进那些繁琐的、技巧性高的变换难题以及强调细枝末节的内容。

 

3.加强相关知识的联系性,强调数学思想方法。

 

三角恒等变换与代数恒等变换、圆的几何性质等都有紧密联系。推导两角差的余弦公式的过程比较集中地反映了这种联系,从中体现了丰富的数学思想。从数学变换的角度看,三角恒等变换与代数恒等变换既有相同之处又有各自特点。相同之处在于它们都是运用一定的数学工具对相应的数学式子作“只变其形不变其质”的数学运算,对其结构形式进行变换。由于三角函数式的差异不仅表现在其结构形式上,而且还表现在包含的角及其函数类型上,因此三角恒等变换常常需要先考虑式子中包含的各个角之间的关系,然后以这种关系为依据来选择适当的三角公式进行变换,这是三角恒等变换的主要特点。教学中应当引导学生以一般的数学(代数)变换思想为指导,加强对三角函数式特点的观察过程,在类比、特殊化、化归等思想方法上多作引导,同时要注意体会三角恒等变换的特殊性。

    
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