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  本书内容包括三角函数、平面向量、三角恒等变换。三角函数是描述周期现象的重要数学模型,在数学和其他领域中具有重要的作用。这是学生在高中阶段学习的最后一个基本初等函数。向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一,它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具,有着极其丰富的实际背景,在数学和物理中都有广泛的应用。三角恒等变换在数学中有一定的应用。

 

全书共需36课时,具体分配是:第一章 三角函数,16课时;第二章 平面向量,12课时;第三章 三角恒等变换,8课时。

 

一、主要变化

 

三角函数与三角恒等变换是高中数学课程的传统内容,平面向量是1996年进入高中数学课程的内容,因此,本模块的内容属于“传统内容”。与以往的教科书相比较,本书在内容、要求以及处理方法上都有新的变化。

 

1.以基本概念为主干内容贯穿本书,削枝强干,建立合理的教材体系。

 

 “三角函数”一章,突出了三角函数作为描述周期变化的数学模型这一本质,即通过现实世界的周期现象,在学生感受引入三角函数必要性的基础上,引出三角函数概念,研究三角函数的基本性质,并用三角函数的基础知识解决一些实际问题。与传统的处理方法不同,这里把三角恒等变换从三角函数中独立出来,其目的也是为了在三角函数一章中突出“函数作为描述客观世界变化规律的数学模型”这条主线。

 

“平面向量”一章,突出强调了向量的工具特性,充分利用向量的物理背景与几何背景建立向量及其运算的概念,并在这个过程中强调用向量解决实际问题及几何问题。其中,特别强调了用向量解决几何问题的基本思想——“三步曲”,从而比较好地体现了数形结合思想。另外,作为一个应用,用向量方法推导了两角差的余弦公式。

 

为了实现削枝强干的目标,教科书除了将三角恒等变换独立成章外,还在具体内容上进行了处理。在三角函数部分删减了任意角的余切、正割、余割,已知三角函数值求角以及符号等内容,任意角、弧度制概念,同角三角函数的基本关系式,周期函数与最小正周期,三角函数的奇偶性等内容都降低了要求。三角恒等变换中,两角和与差的正余弦、正切公式,二倍角的正余弦、正切公式由原来的掌握减弱为能从两角差的余弦公式导出。积化和差、和差化积、半角公式都作为三角恒等变换基本训练的例题,不要求用积化和差、和差化积、半角公式作复杂的恒等变形。平面向量部分将平面两点间的距离公式,线段定比分点及中点坐标公式,平移公式等内容作为平面向量的应用,也降低了要求。

 

根据上述考虑,本模块先安排三角函数,再安排平面向量,然后再把三角恒等变换作为平面向量的一个应用,安排在第3章,紧接着再安排解三角形的内容(放在数学5的第1章)。

 

2.强调联系、类比等思想方法的应用,强调教科书的思想性,加强思维能力的培养。

 

在讨论三角函数及其性质时,经常提醒学生注意用数学1中获得的一般函数概念及其思想方法作指导。例如,教科书中有这样的话:

 

“遇到一个新的函数,非常自然的是画出它的图象,观察图象的形状,看看有没有特殊点,并借助图象研究一下它的性质,如:单调性、奇偶性、最大值、最小值等。特别的,三角函数具有‘周而复始’的特性到底应当如何描述?”

 

这段话实际上是提示学生,在思考三角函数性质到底研究的是哪些问题以及应当如何研究时,应当与自己在数学1中建立的关于函数性质的已有经验联系起来,显然,这对学生把握三角函数基本性质的讨论方向是非常有用的。

 

向量的讨论特别注意了与数的类比,包括向量的线性运算(加、减、数乘)及运算律与数的加减及其运算律的类比,平面向量的坐标表示与数轴上的点表示数的类比,关于向量数量积的运算律与数的乘法运算律的类比,等等。这种类比对于学生学习如何提出问题(应当研究那些问题),怎样寻找解决问题的突破口,研究问题的过程中应当注意哪些问题等等,都是非常有好处的,通过这样的过程,学生的思维能力一定可以得到大的提高。

 

3.加强几何直观,强调数形结合思想。

 

三角函数一章,特别强调了单位圆的直观作用,借助单位圆直观地认识任意角、任意角的三角函数,理解三角函数的周期性、诱导公式、同角三角函数关系式以及三角函数的图象,借助三角函数的图象理解三角函数在一个周期上的单调性、最大和最小值、图象与x轴的交点等性质;平面向量一章,强调向量概念的几何背景,强调理解向量运算(加、减、数乘、数量积)及其性质的几何意义。

 

这里我们特别说明一下用单位圆上点的坐标定义正弦函数、余弦函数的意义。这样来定义三角函数,除了考虑到使学生在三角函数学习之初就能感受到单位圆的重要性,为后续借助单位圆的直观讨论三角函数的图象与性质奠定坚实的基础外,主要还是为了这样的定义能够更好地反映三角函数的本质。

 

事实上,任意角的三角函数可以有不同的定义方法。过去习惯于用角的终边上点的坐标及它到原点的距离的“比值”来定义,这种定义的一个基本理由是可以反映从锐角三角函数到任意角三角函数的推广,有利于引导学生从自己已有认知基础出发学习三角函数。但它对准确把握三角函数的本质也有一定的不利影响,因为锐角三角函数与解三角形是直接相关的,而任意角的三角函数与解三角形却没有任何关系,它是一个最基本的、最有表现力的周期函数,这才是三角函数最本质的地方。

 

本章利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数。这样定义的好处就是直接用(弧度制下)任意角的集合到区间[11]上的映射来定义,去掉了“求比值”这一中间过程,有利于学生理解任意角的三角函数中自变量与函数值之间的对应关系。

 

4.改进呈现方式,用恰时恰点的问题引导学生学习。

 

编写像三角函数、向量这些在以往高中课程中已经出现的内容,我们主要考虑的是通过改进呈现方式,提供直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维活动的载体,达到体现数学教育新理念,促使学生采取积极主动、勇于探索的学习方式进行学习,引导教师改进教学方式,提高教学质量,使学生打好数学基础,提高数学思维能力。

 

在改进呈现方式这个问题上我们是这样考虑的:在保证内容体系的合理性、科学性的前提下,加强教材的问题性和思想性,在知识的发生发展过程中,利用“观察”“思考”“探究”等栏目,提出恰时恰点的问题,把数学概念的概括过程和数学思想方法的形成过程设计成为一系列的问题,启发学生的积极主动思维。这样,可以使学生感到概念的发展和数学思想方法的形成是自然的,不是强加于人的。

 

5.使用信息技术的考虑。

 

本模块中,比较适合用信息技术的内容是三角函数及其性质的研究。根据“标准”的要求和建议,本模块对使用信息技术问题作了如下处理:

 

(1)用计算器进行角度制与弧度制的互换;

 

(2)用计算器求三角函数的值;

 

(3)用计算器的sin-1cos-1tan-1键求角;

 

(4)讨论的图象时,在边空中提示,“可以用‘五点法’作图,有条件的也可以用计算器或计算机作图。在计算机的帮助下,A对函数的图象变化的影响能直观地得到反映”;

 

(5)在用三角函数模型解决问题的过程中,提倡使用计算机进行函数拟合等。

 

相应的,在角的两种度量制的互换、求三角函数值、做函数图象等方面都降低了要求,这样做可以为学生借助信息技术探索数学规律,从事一些富有探索性和创造性的数学活动提供时间和空间。因为有了信息技术,教科书中引进了一些计算量大、需要根据数据选择和修正函数模型才能解决的问题。

 

二、使用本书的几个建议

 

1.充分利用三角函数、向量与学生已有经验的联系创设问题情景。

 

三角函数是描述周期现象的重要数学模型,向量也有丰富的物理与几何背景。

 

在学生的已有经验中,像日出日落,月圆月缺,春夏秋冬,24节气,时针旋转……都是日常经验,对于这些周期变化现象及出现的原因,学生在地理课中都接触过、学习过;单摆,圆周运动,弹簧振子……是学生在物理中学习过的,这些都是认识周期现象的变化规律,体会三角函数模型的意义的很好载体,教学中可以充分利用它们来创设三角函数的学习情境。

 

在学生的生活经验和已有知识中,力、速度、加速度以及几何中的有向线段等概念都是向量概念的原型,向量的运算的物理背景有力的合成、力的分解、运动做功等。教学中可利用这些背景创设情境,引导学生认识向量是物理、数学中的有力工具。

 

2.充分利用相关知识的联系性,引导学生用类比的方法进行学习,加强教学的“思想性”。

 

三角函数与《数学1》的函数概念是一般与特殊的关系,教学中应当注意发挥学生头脑中函数概念及在指数函数、对数函数的学习中建立的经验的指导作用。通过联系和类比,使学生明确三角函数与已有函数概念的共通性,同时认识三角函数的特殊性——描述周期现象的最有力的数学模型,从而明确需要研究的问题及其研究方法。

 

与学生熟悉的数量一样,向量也是一个,不过这个量有些特别,它既有大小又有方向。因为有大小,所以向量可以运算;因为有方向,所以向量可以用来刻画点、直线、平面等几何元素,也是研究几何问题的有力工具——几何中的向量法。因此,向量及其方法有非常强有力的类比对象——数量、解析法。教学中应当通过与数及其运算律的类比,让学生明确平面向量中研究的基本问题及其研究方法,为向量的学习提供一个有力的知识、方法的认知固着点。

 

3.充分发挥几何直观的作用,注重数形结合思想方法的运用。

 

在三角函数的教学中,要充分发挥单位圆的作用,并且要注意逐渐使学生形成用单位圆讨论三角函数问题的意识和习惯,引导学生自主地用单位圆探索三角函数的有关性质,提高分析和解决问题的能力。向量的教学中,应当充分关注到向量既是代数的对象,又是几何的对象的特点,利用向量的物理背景与几何背景,加强几何直观,引导学生在代数、几何和三角函数的联系中学习向量知识。

 

4.把握教学要求,不搞复杂的、技巧性强的三角变换训练。

 

弧度是学生比较难接受的概念,教学中应使学生体会弧度也是一种度量角的单位(圆周的1/2π所对的圆心角或周角的1/2π),随着后续课程的学习,他们将会逐步理解这一概念,在此不必深究。

 

在三角恒等变换的教学中,两角差的余弦公式的推导思路的获得是一个难点。为此,“标准”明确提出利用向量的数量积推导两角差的余弦公式,并由此公式推导出两角和的余弦、两角和与差的正弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,教学中应当把握这种要求,不要因为用其他方法推导两角差的余弦公式有较好的思维教育价值而作过多扩展(对于学有余力的学生,可以作为课外学习素材)。另外,教学中应鼓励学生通过独立探索和讨论交流,推导积化和差、和差化积、半角公式,以此作为三角恒等变换的基本训练,不要进行复杂的、技巧性强的三角恒等变换训练。

 

另外,在三角函数中被删减的内容(如任意角的余切、正割、余割,三角函数的奇偶性,已知三角函数求角,反三角函数符号等)以及降低要求的内容(如任意角概念,弧度制概念,同角三角函数的基本关系式,诱导公式等)都不要随意补充或提高要求。

    
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