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  本教科书根据教育部颁发的《普通高中数学课程标准(实验)》(简称“标准”)编写,是高中数学课程5个必修模块中的第3个。

 

一、   主要内容与结构框架

 

本书的主要内容是算法、统计和概率的基础知识和基本思想,算法思想和统计思想也是贯穿高中数学课程的重要的数学思想。

 

全书分为三章,共36课时。具体内容是:第1算法初步(12课时);第2统计(16课时);第3概率(8课时)。

 

1章是算法的初步知识。由于学生在以往的学习中对一些具体的算法并不陌生,所以教科书从两个角度入手选择素材:一是学生熟悉的具体问题的算法,二是历史上典型的算法案例。希望通过对这些算法的分析、分解、比较、讨论等,把算法的初步知识教给学生,同时使学生从中体会算法的基本特征和基本思想。例如,教科书从学生熟悉的二元一次方程组的求解过程出发,引出算法的描述性定义和算法的主要特征,然后用“质数的判定”和“二分法求方程近似解”这两个例题进一步展现算法的特征。算法的其他知识(如程序框图、基本逻辑结构、基本算法语句)也是在对具体算法的分析、比较、探索中呈现的。教科书在第3节选择了3个典型的算法案例,其中蕴涵的算法思想更为深刻,也更能体现算法的重要性和有效性。

 

统计学是研究如何收集、整理、分析数据的科学。第2章内容安排的主线是从数据收集到数据分析整理及使用,介绍了几种最基本的获取样本数据的方法,以及几种从样本数据中提取信息的统计方法。教科书首先通过实例引出抽样的必要性,抽样时所应考虑的基本问题,样本的质量(代表性)和所推断的结论之间的关系;然后介绍了几种常用的随机抽样方法:简单随机抽样、系统抽样和分层抽样。抽样的目的是为了获得总体分布信息,教科书介绍了几种获得总体分布信息的方法,包括:用样本频率分布估计总体分布、用样本数字特征估计总体数字特征的思想及其在解决实际问题中的应用,变量的相关关系和线性回归分析。

 

概率是统计学的理论基础。第3章利用随机事件的频率给出了概率的定义和性质。对于日常生活中对概率的错误认识,教科书通过模拟、试验等方法做出了解释,并举出了几个用概率解决实际问题的例子,如检验游戏的公平性、进行决策、正确地理解天气预报、解释遗传现象等等。教科书还介绍了两个概率模型——古典概型和几何概型的意义和计算公式,以及产生两种随机数(取整数值的随机数和均匀随机数)的方法,并通过实例说明了怎样用随机模拟的方法估计随机事件发生的概率。

 

二、   编写中考虑的问题

 

算法”是本次高中数学课改增加的新内容;与以往的课程相比,“统计与概率”在内容要求和处理方式上都发生了很大的变化。本着有利于课程实施的原则,在编写本书的过程中,我们在体系编排、素材选择、内容呈现等方面努力体现“标准”的要求,同时考虑了“利教利学”的问题。

 

1.以算法思想、统计思想贯穿始终

 

本册教科书涉及的数学思想主要是算法思想和统计思想。在信息技术高速发展的时代,算法所体现的通用化、机械化、程序化等思想,对学生的日常生活、学习和将来的工作都是必要的,算法对发展学生有条理的思考和表达能力,提高他们的逻辑思维能力也是很有帮助的。因此,教科书将算法思想作为本书考虑的重点问题之一,具体做法是:以具体算法案例为载体,通过分析和阐明算理、明确算法步骤、用程序框图表示、将自然语言或程序框图翻译成计算机语言(写程序语句)等,引导学生体会算法思想;利用“思考”“探究”等栏目,启发学生思考和探究算法的特点,三种逻辑结构的特点等;通过比较同一个问题的不同算法中的算理,引导学生体会好算法的特点,并学会改进算法;等等。

 

统计思想是一种归纳思想,统计的学习中需要用不确定思维方式进行思考。第2章在收集数据、整理数据、分析数据的过程中都注意体现统计思想。例如,强调对随机抽样的必要性、重要性的认识;抽样过程中强调样本的代表性、如何抽样才能保证样本代表性等;强调用样本估计总体这一统计的基本思想……第3章注重用统计思想解释各种现象。例如,在用频率近似概率时,利用的是用样本的数字特征估计总体的数字特征的思想;用概率的知识解释统计中似然法的思想、遗传机理中的统计规律等;统计试验中随机模拟方法的原理就是用样本估计总体的思想;在古典概型部分,每道例题在计算出随机事件的概率后,都给出相应结果的解释或提出思考问题让学生做进一步的探究。

 

2以典型案例为载体讲述知识和思想

 

第1章先用“二元一次方程组求解”等例子来说明算法的概念和特点,然后选用几个简单、典型的例子分别说明程序框图的三种基本逻辑结构;结合具体例子介绍基本算法语句;最后一节,精选具有典型性、代表性、趣味性和可接受性的算法案例,以帮助学生通过案例进一步理解算法的本质。

 

统计与现实生活有紧密联系,第2章也注意选择典型的、学生感兴趣的统计案例,让学生体会其中的统计原理。例如,教科书通过1936年美国总统选举前的一次失败的民意调查,让学生体会方便样本所带来的问题,理解为什么要采用随机样本。

 

概率是研究随机现象的科学,第3章列举了大量现实生活中的随机现象,并引导学生运用概率的知识做出科学的解释,使学生逐步体会概率的意义,感受概率的实际应用价值。

 

3.为学生提供模仿、操作和探索的机会

 

算法、统计和概率都是实践性很强的内容,其中包含了重要的数学思想,需要学生通过亲身实践加以体会和理解。因此,教科书的设计特别注意了为学生提供实践机会,让他们经历模仿、操作和探索的过程。

 

  例如,在第1章中,强调了让学生经历设计程序框图表达解决问题的过程,和将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程;第2章设置了“实习作业”,先让学生在课余时间收集数据,对数据进行处理后写出实习报告,然后再在课堂上交流试验结果;第3章强调了学生动手试验的重要性,使学生通过实实在在的试验而获得对随机现象的真切感受,特别是利用“掷骰子”这个具有典型性和操作性强的试验,反复让学生通过这一试验理解随机现象。

 

4. 加强信息技术的使用

 

算法、统计与概率与信息技术都是紧密联系的:算法与计算机有着本质的联系,统计需要分析和处理大量的数据,概率中随机模拟方法需要产生和处理大量的模拟试验结果。因此,算法、统计和概率的教学都可以与信息技术很好地结合在一起。

 

第1章中,教科书采用类似BASIC的语句形式和语法规则来介绍算法语句。BASIC语言具有与实际语言类似、简单、易学的特点,有利于学生将算法转化为计算机程序,上机实现算法,进而尝试用计算机解决大批的数学问题。第2章和第3章中,利用信息技术以提高数据处理的效率和效果,这样不但可以引起学生的兴趣,还可以使学生把更多的时间与精力用在体会统计思想,设计数据处理的方法,以及探究事物的统计规律上。

 

三、   使用本书的几点建议

 

1.关于算法思想和统计思想的渗透

 

事实上,我们很难用语言明确地给出算法思想、统计思想的定义,因此,通过实例引导学生体会算法思想、统计思想是教学的主要手段。算法虽然是高中数学课程第一次引入的内容,需要一个熟悉的过程,但实际上算法的思想大家并不陌生,只是过去没有明确提“算法”一词而已。例如,把解方程的过程程序化,使之能够解决所有这一类方程(从判断a是否为零开始,根据判别式的取值情况,利用求根公式分别写出根的情况,达到“只要输入系数abc,就能输出方程的解”的要求),这个过程就体现了算法思想。因此,在算法的教学中,首先应当克服畏难情绪,引导学生从以前学过的典型实例中,分析其中蕴含的算法思想,体会算法的“通用化”“机械化”“程序化”的特点以及对算法步骤的“明确”“有效”“有限”的要求。应当防止把算法的教学变成程序语言和程序设计的教学。同样的,在统计的教学中,应当把重点放在使学生体会“通过部分数据推测全体数据的性质”的过程中体现的统计思维“不确定性”的特点,认识统计结果的随机性。概率的教学中,则要把重点放在让学生理解随机事件发生的不确定性及其频率的稳定性上。注意不要在概念的细枝末节上做文章(例如对“全体学生”是总体还是“全体学生的身高”是总体的严格区分等)。

 

2.关于典型案例的使用

 

  前面已经谈到,本书的三章内容都具有很强的实践性,知识点不多但思想深刻。这类内容的教学应当与代数、几何内容的教学有所区别,特别需要强调给学生提供实际操作的机会,以使他们更好地体会相应的数学思想。所以本书的教学中,典型案例的使用非常重要。例如,在“算法”的教学中,“大于1的整数是否为质数的判定”就可以作为贯穿始终的例子:在算法概念教学时,让学生从“质数判定”的算理中体会算法思想,即用一个对2~n1)通用的程序来完成“检验23,…,(n1)是不是n的因数”中就体现了算法思想;在程序框图的教学中,让学生先写出用自然语言表述的算法,然后再“翻译”成用图形方式(即程序框图)表达的算法,并引导学生解释自然语言和图形语言的对应关系;最后,再将程序框图“翻译”成计算机语言,完成基本程序语句的学习。在解决这个问题的过程中,关键的一步是写程序框图,这是一个有条理地、清晰地表达算法的过程,是算法的精细化、明确化的过程,是让学生体会算法思想的最好机会。

 

3.关于信息技术的使用

 

本书所包含的三部分内容与信息技术有着密切的联系,有条件的学校应当给学生提供使用信息技术的机会。例如,算法的教学中,应当鼓励学生尽可能上机尝试。上机能极大地提高学生学习算法的兴趣;不但可以检验算法的正确性以及算法的好坏,而且还可以通过改进算法而引起学生对算法的更深入思考。例如,在“质数判定”的算法中,可以引导学生思考改进算法的方法,把“检验23,…,(n1)是不是n的因数”改进为“检验23,…,是不是n的因数”,从而大大提高运算速度,使学生体会数学知识在优化算法中的重要作用,使他们明白“程序设计的本质是数学问题”(进一步地,信息技术的本质是数学)的道理。

    
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