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  本章在“第三章 直线与方程”的基础上,在直角坐标系中建立圆的方程,并通过圆的方程,研究直线与圆、圆与圆的位置关系。

 

在直角坐标系中,建立几何对象的方程,并通过方程研究几何对象,这是研究几何问题的重要方法。通过坐标系,把点与坐标、曲线与方程联系起来,实现空间形式与数量关系的结合。

 

一、内容与课程学习目标

 

本章主要内容是在直角坐标系中建立圆的方程,并通过圆的方程,研究直线与圆、圆与圆的位置关系。通过本章学习,要使学生达到如下学习目标:

 

1.回顾确定圆的几何要素,在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的标准方程与一般方程。

 

2.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆、圆与圆的位置关系。

 

3.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。

 

4.进一步体会用代数方法处理几何问题的思想。

 

5.通过具体情境,感受建立空间直角坐标系的必要性,了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标系刻画点的位置。

 

6.通过表示特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标,探索并得出空间两点间的距离公式。

 

二、内容安排

 

本章内容共分三节,约需9课时,具体课时分配如下(仅供参考):

 

41  圆的方程                                         2课时

 

42  直线、圆的位置关系                               4课时

 

43  空间直角坐标系                                   2课时

 

                                                   1课时

 

1.“直线与方程”一章研究了直线方程的各种形式、直线之间的位置关系以及直线之间位置关系的简单应用。本章在第三章的基础上,学习圆的有关知识——圆的标准方程、圆的一般方程;继续运用“坐标法”研究直线与圆、圆与圆的位置关系等几何问题;学习空间直角坐标系的有关知识,用坐标表示简单的空间的几何对象。

 

2.“圆的方程”一节包括圆的标准方程、圆的一般方程两部分。首先提出确定圆的几何要素这个问题,指出圆心和半径是确定一个圆最基本的要素,然后引导学生用代数的语言(方程)描述圆,进而得到圆心为Cab),半径为r的圆的标准方程xa2+(yb2r2对圆的标准方程进行变形,可以得出圆的一般方程,它们是表示圆的方程的两种形式。

 

3.“直线、圆的位置关系”中,先从几何角度指出它们之间的直线与直线、直线与圆的位置关系,然后用方程去描述它们,通过方程研究直线、圆的位置关系。最后安排了直线与圆的方程在解决实际问题和平面几何问题方面的应用。

 

通过方程,研究直线与圆、圆与圆的位置关系是本章的主要内容之一。判断直线与圆、圆与圆的位置关系可以从两个方面入手:

 

1)曲线C1C2有无公共点,等价于由它们的方程组成的方程组有无实数解.方程组有几组实数解,曲线C1C2就有几个公共点;方程组没有实数解,C1C2就没有公共点。

 

2)运用平面几何知识,把直线与圆、圆与圆的位置关系的结论转化为相应的代数问题。

 

在本节的最后,进一步指出用坐标方法解决几何问题的“三部曲”:

 

第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题;

 

第二步:通过代数运算,解决代数问题;

 

第三步:把代数运算结果“翻译”成几何结论。

 

4.“空间直角坐标系”包括空间直角坐标系的概念,用坐标表示空间中简单的几何对象,以及空间中两点间的距离公式。

 

5.为了使学生更好地了解“坐标法”,认识信息技术在探求轨迹方面的作用,本章安排了“阅读与思考  坐标法与机器证明”和“探究与发现  用《几何画板》探求点的轨迹(圆)”。“阅读与思考  坐标法与机器证明”介绍了坐标法、笛卡儿、坐标法与机器证明之间的关系、机器证明的思想,以及在机器证明方面作出重大贡献的的我国著名数学家吴文俊先生。目的是拓广学生的知识面,了解我国数学家作出的重大贡献,激发学生进一步深入学习数学的兴趣。“探究与发现  用《几何画板》探求点的轨迹(圆)”介绍了《几何画板》在探求点的轨迹,帮助学生猜想、发现方面的作用。

 

三、编写中考虑的几个问题

 

1.始终贯穿“坐标法”的思想

 

解析几何的特点是用代数的方法研究几何图形。对于义务教育阶段中判断圆与直线、圆与圆之间的位置关系的方法,学生并不陌生。这里研究问题的方法与以前不同,这就是坐标法.

 

在建立圆的标准方程时,首先帮助学生回顾确定圆的要素,然后利用坐标法来刻画圆,建立了圆的标准方程;判断圆与直线、圆与圆的位置关系时,首先回顾义务教育阶段如何判断圆与直线、圆与圆的位置关系,然后利用坐标法研究它们。从另一个角度看,既然圆、直线都可以用方程来刻画,那么就可以通过对方程的研究来研究直线与圆、圆与圆的位置关系,这就是两曲线是否有公共点的问题,即它们的方程组成的方程组有没有实数解的问题。本章在进行圆与直线、圆与圆的位置关系判断时,常常采用这两种方法.

 

2.从一个或几个数学问题展开知识内容

 

问题是数学的心脏。引入知识内容时,常设置一个或几个问题,创设一种情境,一方面引起学生的兴趣,另一方面引起学生解决问题的求知欲望。

 

比如“4. 1.2圆的一般方程”,提出了两个思考题

 

    思考:方程x2y22x4y10表示什么图形?方程x2y22x4y60表示什么图形?

 

实际上,对方程x2y22x4y60配方,得(x12+(y22=-1,这个方程不表示任何图形。

 

紧接着,教科书又提出一个让学生探究的问题。

 

探究:形如x2y2DxEyF0的方程在什么条件下表示圆?

 

教科书环环相扣,把学生引入一个又一个“愤”与“悱”的境地,使得学生通过问题的解决学习新的知识。

 

3.关注结论形成的过程,通过思考、探究,得出结论

 

本章在编写时注意呈现方式,不直接给出结论,让学生证明。而是把结论放在学生经过一系列数学活动之后,通过思考、探究,得出结论。比如,用“坐标法”解决问题的“三部曲”就是通过解决一系列问题后得出。在例题的呈现时,增加了分析的过程,重点分析解题的思路。在探求点的轨迹时,提倡先用信息技术工具探究轨迹的形状,对问题有一个直观的了解,然后再分析轨迹形成的原因,找出解决问题的方法,使得学生抓住问题的本质,理清思路,制订合理的解题策略。

 

4.充分利用教科书边空,提出具有一定思考价值的问题,强调重要的数学思想方法

 

利用教科书边空不失时机地提出一些具有一定思考价值的问题,例如:

 

1)当一个问题解决之后,询问“还有其他不同的解法吗?”或者是“有更好的解法吗?

 

2)当同一个问题有两种解法时,要求比较它们的优劣。如“请同学们比较这两种证明方法,并指出各自的特点?”在比较中加深理解,促使学生养成解题后反思的良好习惯.

 

3)当同一个问题有多种解法时,要求学生在教科书已经给出一种或两种解法的基础上再给出一种。

 

归纳、抽象是重要的数学思想方法。在问题解决之后,要求学生进行一些简单的归纳。例如,“4. 1.1圆的标准方程”,在学习了例2与例3之后,提出“比较例2和例3,你能归纳出求任意三角形外接圆的标准方程的两种方法吗?

 

通过问题的开放性,触类旁通地提出问题。比如,研究圆C1x2y22x8y80与圆C2x2y24x4y20的关系时,把它们的方程相减,得到 x2y10。在边空处要求“画出圆C1C2以及方程x2y10表示的直线,你发现了什么?你能说明为什么吗?”更进一步,能否说,要研究圆C1与圆C2的关系只要研究直线x2y10C1(或C2)的关系就可以了呢?这一问题,不仅体现了“化归”的思想,而且是颇具思考价值的.

 

5.注意加强与实际问题、其他学科的联系

 

本章内容的选择尽可能加强与学生的生活、生产实际的联系。比如,为说明研究直线与圆的位置关系的必要性,设置了一个渔船能否避开台风的问题:

 

一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报:台风中心位于轮船正西70 km处,受影响的范围是半径长为30 km的圆形区域. 已知港口位于台风中心正北40 km处,如果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响?

 

在直线与圆的方程的应用部分,设置了与圆拱桥有关的计算题。学习空间直角坐标系时,要求写出食盐晶胞中钠原子在空间直角坐标系中的位置(坐标)等等。

 

6.介绍科技成果,渗透数学文化

 

本章通过设置“阅读与思考 坐标法与机器证明”栏目,介绍科学家、数学史、数学在现代生活中的应用等,机器证明几何定理是坐标法的精彩应用,我国数学家吴文俊先生在这方面有着重要的贡献,较为详细地介绍了机器证明几何定理研究的历史。

 

四、对教学的几个建议

 

1.认真把握教学要求

 

教学中,注意控制教学的难度,避免进行综合性强、难度较大的数学题的训练,避免在解题技巧上做文章。比如,义务教育阶段“空间与图形”部分涉及的许多结论都可以用坐标法来加以证明,而义务教育阶段的教学要求已经有所改变。因此,用坐标法证明平面几何题要求不宜过高,适可而止。再如,教科书不介绍圆的切线方程x0x+y0yr2,这并不是说不涉及圆与直线相切这一位置关系。与直线相切这一位置关系的判断可以有两种方法,一种是利用圆心到直线的距离等于半径长;另一种是利用它们的方程组成的方程组只有一组实数解。

 

2.关注重要数学思想方法的教学

 

重要的数学思想方法不怕重复。《普通高中数学课程标准(实验)》要求“坐标法”应贯穿平面解析几何教学的始终,帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方法。在教学中应自始至终强化这一思想方法,这是解析几何的特点。教学中注意“数”与“形”的结合,在通过代数方法研究几何对象的位置关系以后,还可以画出其图形,验证代数结果;同时,通过观察几何图形得到的数学结论,对结论进行代数证明,不应割断它们之间的联系,只强调其一方面。

 

3.关注学生的动手操作和主动参与

 

学习方式的转变是课程改革的重要目标之一。教学中,注意提供充分的数学活动和交流的机会,引导他们在自主探索的过程中获得知识、增强技能、掌握基本的数学思想方法。例如,判断直线与圆、圆与圆的位置关系以及它们的简单应用,探究点的轨迹等内容,可以先让学生画一画、想一想,然后进行代数论证。“观察”“思考”“探究”等栏目设置目的之一就是想让学生参与到数学活动中来。

 

4.关注信息技术的应用

 

平面解析几何是一门典型的数与形结合的学科,信息技术在加强几何直观,促使数与形结合方面有着特殊的作用。借助信息技术,可以形象、直观地帮助学生认识所研究的曲线。在动态演示中,观察曲线的性质,在直观了解的基础上,寻求形成这些性质的原因以及代数表示。通过对方程的研究,了解曲线与曲线的关系时,运用信息技术,可以进一步验证得到的结果,为抽象的认识增添了形象的支持。在探究点的轨迹时,可以借助信息技术,探究轨迹的形状等等。

    
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