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  空间几何体各式各样、千姿百态。在“第一章空间几何体”中我们对它们的整体结构有了大致的了解,有了初步的整体认识。本章我们从构成空间几何体的基本元素--点、直线和平面入手,以长方体为载体,直观认识和理解空间中点、直线、平面的位置关系。由整体到局部,由局部认识整体,逐步把握空间几何体的性质。同时,学会用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定,并对某些数学结论进行论证。

 

一、内容与课程学习目标

 

本章的内容是点、直线、平面之间的位置关系。通过本章学习,学生应当达到下列目标:

 

  1.以长方体为载体,使学生在直观感知的基础上,认识空间中点、直线、平面之间的位置关系。

 

  2.通过对大量图形的观察、实验、操作和说理,使学生进一步了解平行、垂直判定方法以及基本性质。

 

  3.学会准确地使用数学语言表述几何对象的位置关系,体验公理化思想,培养逻辑思维能力,并用来解决一些简单的推理论证及应用问题。

 

二、内容安排

 

本章内容共分三节,约需10课时,具体课时分配如下(仅供参考):

 

21  空间点、直线、平面之间的位置关系                   3课时

 

22  直线、平面平行的判定及其性质                       3课时

 

23  直线、平面垂直的判定及其性质                       3课时

 

                                                         约1课时

 

1“空间点、直线、平面之间的位置关系”包括四部分内容,按照平面、空间中直线与直线之间的位置关系,空间中直线与平面的位置关系,空间中平面与平面的位置关系编排了4小节。点、直线的描述性定义在义务教育阶段已经学过,本节首先给出平面的描述性定义,然后给出作为推理依据的三个公理:

 

公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。

 

公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。

 

公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

 

三个公理的叙述中把文字语言、图形语言、符号语言三者有机结合。在此基础上再给出作为推理依据的公理4和定理,即

 

公理4:平行于同一条直线的两条直线平行。

 

定 理:空间中如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。

 

无论在讲空间中直线与直线位置关系、直线与平面的位置关系还是平面与平面的位置关系都是借助长方体这个直观载体,从对长方体的观察开始。

 

平行和垂直是空间中最重要的两种关系。平行反映了空间的平直性,垂直反映了空间的对称性。

 

2.“直线、平面平行的判定及其性质”以平行为主线,按照先判定再给出性质的顺序,依次安排直线与平面平行的判定、平面与平面平行的判定,直线与平面平行的性质,平面与平面平行的性质。通过直观感知、操作确认,归纳出以下判定定理:

 

平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。

 

一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。

 

  和性质定理:

 

  ◆一条直线与一个平面平行,则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行。

 

◆两个平面平行,则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行。

 

3.“直线、平面垂直的判定及其性质”以垂直为主线,按照先判定再给出性质的顺序,依次安排直线与平面垂直的判定、平面与平面垂直的判定,直线与平面垂直的性质,平面与平面垂直的性质。通过直观感知、操作确认,归纳出以下判定定理:

 

一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,则该直线与此平面垂直。

 

一个平面过另一个平面的垂线,则两个平面垂直。

 

  和性质定理:

 

◆垂直于同一个平面的两条直线平行。

 

◆两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

 

空间中的平行关系和垂直关系在一定条件下互相转化,如垂直于同一个平面的两条直线平行等等。

 

三、编写中考虑的几个问题

 

本章强调空间观念的建立和空间想象能力的培养,引入合情推理,突出几何直观,在大量实际背景,直观操作和感受的基础上,引导学生归纳、概括出若干定理,目的是让学生感受公理化思想,了解证明的含义。本章给出的4个公理、9个定理中只有4个性质定理需要证明,其余4个判定定理只需通过直观感知、操作确认,归纳得出。

 

1遵循“直观感知操作确认思辨论证度量计算”的认识过程展开知识内容,充分利用“观察”、“思考”、“探究”等栏目

 

空间点、直线、平面的位置关系,直线、平面平行的判定及其性质,直线、平面垂直的判定及其性质都是以长方体为直观载体,按照操作加以确认,用精确语言表达,再将直线、平面平行和垂直的性质定理进行严密的论证和计算。

 

为了实现上述认识过程,教科书设置了“观察”、“思考”、“探究”等栏目,以确保“直观感知操作确认思辨论证度量计算”四个层次的认识过程的展开和实施。以学生经历从实际背景中抽象出数学模型,从现实的生活空间中抽象出几何图形和几何问题的过程。

 

观察:重在引导学生看实物模型以及长方体,其目的是提高学生的空间想象能力,加深对所学知识的理解和记忆。应借助现代信息技术工具,看表现空间点、直线与平面位置关系的各种图形,获得丰富的感性材料。在引导学生观察模型时,应引导学生学会有目的地、有序地、全面地观察模型体现的点、直线、平面之间的关系。

 

思考:侧重于从学生的实际生活和生产实际中提出与数学有关的问题,放手让学生去想去议,调动学生思维的积极性和学习交流。当学生经过思考、讨论后,真正实现由感性认识向理性认识的过渡,达到巩固所学知识的目的,激发学生的理性思维,引导学生由直观感知、操作确认到思辨论证的过渡。

 

探究:着眼于促使学生独立思考和自主探索,给学生自主探索的机会,让学生在讨论的基础上发现问题和解决问题;安排适量的、具有一定探索意义和开放性的问题,给学生比较充分的思考的空间和时间,在借助图形直观进行合情推理的过程中,增强学生探究的好奇心,加深对数学的理解,培养学生乐于钻研、勤于思考的习惯,激发出潜在的创造力,让学生在不断探索与创造的氛围中发展解决问题的能力,体会数学的价值.

 

教科书在阐述内容的过程中,大量使用“观察”、“思考”、“探究”栏目,让学生在学习过程中,通过自主探索,认识和掌握空间图形的性质,积累数学活动的经验,发展空间观念和推理能力。

 

2.强调几何直觉,把空间观念的建立和空间想象能力的培养放到突出的位置

 

当代伟大的数学家M·阿蒂亚先生指出:“几何是数学中这样的一部分,其中视觉思维占主导地位┈┈几何直觉是增进数学理解力的很有效的途径。”几何学能够给我们提供一种直观的形象,通过对图形的把握,发展空间观念,培养空间想象能力。

 

本章内容在安排上,从对空间几何体的整体观察入手,认识空间图形,再以长方体为载体,直观认识空间点、直线、平面的位置关系,抽象出有关概念,用数学语言表述有关性质与判定。可以这么说,几何,作为一种直观、形象的数学模型,它在发展学生创新精神方面的价值是独特的,难以替代的。

 

3. 发展合情推理,降低“证明”的要求,渗透公理化思想

 

归纳和类比是合情推理的主要形式。本章试图使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动,发展合情推理和初步的演绎推理能力。适当发展合情推理,把合情推理与演绎推理结合起来,让学生通过合情推理-演绎推理的过程获得结论。

 

本章内容削弱了以演绎推理为主要形式的定理证明,减少了定理的数量,删去了大量的几何证明题,淡化了几何证明的技巧,降低了论证过程形式化的要求和证明的难度。这样的安排主要出于以下考虑:体现《普通高中数学课程标准(实验)》的理念,推理不仅仅指演绎推理,还包括合情推理,这两种推理相辅相成。

 

四、对教学的几个建议

 

1.立体几何体系结构的设计遵循从整体到局部、具体到抽象的原则,这是立体几何内容改革的重点

 

与传统立体几何内容体系相比,本次立体几何内容的体系结构有重大改革。传统立体几何常从研究点、直线和平面开始,先讲清楚它们之间的位置关系和有关公理、定理,再研究由它们组成的几何体的结构特征,几何体的体积、表面积等等,基本上按照从局部到整体的原则。现在,先从对空间几何体的整体感受入手,再研究组成空间几何体的点、直线和平面。这种安排有助于培养学生的空间想象能力、几何直观能力,淡化几何论证,降低立体几何学习入门难的门槛,提高学生学习立体几何内容学习的兴趣。

 

第一章和第二章是一个有机的整体,第二章讲完后,可引导学生从点、直线、平面的角度重新认识空间几何体,对空间几何体的结构特征有更本质的认识。

 

2 . 把握几何推理证明的要求

 

    欧几里得公理体系把几何与逻辑结合起来,几何就与演绎推理结下了不解之缘,成为训练逻辑推理的素材。就推理来说,既有合情推理,又有演绎推理,而且从数学自身发展的过程来看,即使演绎推理也并非“几何”所独有,它广泛存在于数学的各个分支中。20世纪80年代以来,国际数学教育对几何推理的要求发生了一些变化,从纯粹的演绎推理转向较少的演绎推理,更多地强调从具体情境或前提出发进行合情推理;从单纯强调几何的推理价值转向更全面地体现几何的教育价值,特别是几何在发展学生空间观念,以及观察、操作、试验、探索、合情推理等“过程性”方面的教育价值。

 

3.注意加强几何建模以及探究过程,在教学过程中,强调几何直观

 

本章的知识与学生学习的生活联系密切,如直线与直线位置关系、直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系等等。学习时,一方面引导学生从生活实际出发,把知识与周围的事物联系起来,另一方面,教师要引导学生经历从现实的生活空间中抽象出空间图形的过程,注重探索空间图形位置关系的判定与性质的过程。比如,在有关直线、平面平行与垂直判定定理的教学中,要注重引导学生通过观察、操作、有条理的思考和推理等活动,从多种角度认识直线、平面平行与垂直的判定方法;在性质定理的教学中,同样不能忽视学生从实际问题出发,进行探究的过程。要引导学生借助图形直观,通过归纳、类比等合情推理来探索直线、平面平行与垂直的性质及其证明。

 

立体几何在构建直观、形象化的数学模型方面有其独特作用。图形的直观,不仅为学生感受、理解抽象的概念提供了有力的支撑,而且有助于培养学生的合情推理和演绎推理能力。

 

4.恰当使用现代信息技术,展示丰富的图形

 

1)通过现代信息技术,如计算机、网络等展示丰富的图片,让学生感受大量的实物,抽象出空间几何体及其结构特征。

 

2)运用现代信息技术和有关软件,制作一些课件,如动态演示空间点、直线、平面之间的位置关系,以及空间中的平行与垂直关系等等。

 

使用信息技术的目的是通过演示、作图、验证等帮助学生认识几何体的结构特征;为学生理解和掌握图形的几何性质、探究几何性质等提供支持,提高学生的几何直观能力。在学生的空间概念还比较薄弱的时候,特别是在刚开始学习立体几何的阶段,如果能够引导学生通过信息技术观察实物模型,并根据模型进行分析,对帮助学生树立空间概念将有极大的帮助。

    
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