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  在本章,学生将在已学过的函数概念、指数函数、对数函数、幂函数的基础上,结合实际问题,感受运用函数概念建立模型的过程和方法,体会函数在数学和其他学科中的重要性,初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题.同时还将学习利用函数的性质求方程的近似解,了解函数的零点与方程根的联系.

 

一、内容与课程学习目标

 

本章学习的主要内容是函数与方程(函数的零点与方程根的关系),函数模型及其应用。本章学习的目标是:

 

1.结合二次函数的图象,判断一元二次方程根的存在性及根的个数,从而了解函数的零点与方程根的联系.

 

2根据具体函数的图象,能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解,了解这种方法是求方程近似解的常用方法

 

3利用计算工具,比较指数函数、对数函数以及幂函数间的增长差异;结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.

 

4收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)的实例,了解函数模型的广泛应用

 

二、内容安排

 

全章共有2节和一个实习作业,另外还有三个选学内容,教学时间约需8课时,大体分配如下(仅供参考):

 

3.1 函数与方程                                           2课时

 

阅读与思考    中外历史上的方程求解

 

信息技术应用  借助信息技术求方程的近似解

 

3.2 函数模型及其应用                                     4课时

 

信息技术应用  收集数据并建立函数模型

 

实习作业                                                 1课时

 

小结                             1课时

 

本章知识结构如下:

 

(1)建立函数模型解决问题的过程

 

 

(2)本章知识安排的前后顺序

 

 

1.本章的主要内容是方程的根与函数的零点的关系、用二分法求方程的近似解、几种不同的函数增长模型、函数模型的应用举例.建立实际问题的函数模型,利用已知函数模型解决问题,作为一条主线贯穿了全章的始终,而方程的根与函数的零点的关系、用二分法求方程的近似解,是在建立和运用函数模型的大背景下展开的.方程的根与函数的零点的关系、用二分法求方程的近似解中均蕴涵了“函数与方程的思想”,建立和运用函数模型中蕴含的“数学建模思想”,是本章渗透的主要数学思想.二分法是本章介绍的主要数学方法.

 

2.在初中一元二次方程和一元二次函数学习的基础上,教科书通过比较一元二次方程的根与对应的一元二次函数的图象和x轴的交点的横坐标之间的关系,给出了函数的零点的概念,并揭示了方程的根与对应的函数的零点之间的关系.然后,通过探究介绍了判断一个函数在某个给定区间存在零点的方法和二分法.并且,教科书在“用二分法求函数零点的步骤”中渗透了算法的思想,为学生后续学习算法内容埋下伏笔.

 

3.教科书运用选自投资方案和制定奖励方案两个问题,引出函数模型增长情况比较的问题,接着运用信息技术从数值和图象两个角度比较了指数函数、对数函数、幂函数的增长情况的差异,说明了不同函数类型增长的含义.

 

4.函数基本模型的应用是本章的重点内容之一.教科书分别以行程问题、人口增长问题、商品定价问题、未成年人的生长发育问题为例,在丰富的实际背景中对不同的变量关系进行了研究,分别介绍了分段函数、指数型函数、二次函数的应用,在这个过程中渗透了拟合的基本思想.

 

三、编写中考虑的几个问题

 

1.问题取材广、立意新,以利于增强学生的应用意识

 

函数模型的应用主要围绕具体问题展开研究,问题的取材与设计是这部分内容的关键.教科书注意结合不同学生的实际,选择大多数学生熟悉的背景,在例题、练习、习题和复习参考题中,针对不同的函数模型,为学生设计了素材广泛、内容新颖的问题,以利于开阔学生的视野,让学生从中体会函数模型应用的广泛性和重要性.在问题的立意上,教科书从函数模型的特点出发,从不同的侧面提出能激发兴趣的问题.例如行程问题是学生接触较多的,但要说明速度与时间关系图中的部分面积的实际含义,对学生来说却是新颖的;以往学生主要是建立路程、速度、时间的关系式,对建立汽车里程表读数与时间的分段函数,却具有新的挑战性.又如人口问题涉及我国的基本国策,教科书的例题要求根据过去一段时间的人口数据,对何时能达到我国现在的人口数量进行预测,学生就容易对预测的结果进行评价,这对激发学生兴趣有好处.又如桶装水的定价问题,将学生置入一个现实环境中,让他们以一个经营者的身份对身边简单的经营问题进行决策,这有利于学生自觉地将所学的知识用于解决实际的问题.再如建立身高与体重的函数模型,由于学生会急于了解自己的身高与体重是否正常,所以能激起他们探求这个函数模型的欲望,将这一问题的解决过程变为主动的探求过程.通过设计一系列这样的问题,将有利于增强学生的应用意识.

 

2.以函数模型的应用为主线,多视点宽角度地研究问题

 

本章除了函数模型的应用之外,还要介绍函数与方程的一些关系,以及几种函数模型在增长上的差异.教科书在处理上,以函数模型的应用这一主要内容为主线,以几个重要的函数模型为对象或工具,将各部分内容紧密结合起来,使之成为一个整体.首先依托二次函数模型,通过研究几个具体的二次函数及其相对应的方程,得到方程的根与函数的零点的关系,然后将此结果化归为一般的结论.在此基础上,进一步利用其他函数模型,研究其对应方程的解,将二分法融入函数模型的应用之中.对不同函数模型在增长差异上的研究,教科书依然围绕函数模型的应用这一核心,结合具体实例展开讨论,让学生在应用函数模型的过程中,体验到指数函数、对数函数、幂函数等函数模型在描述客观世界变化规律时各自的特点.有了这些铺垫,再来具体研究函数模型的应用,在内容上层次分明,系统性强,而学生学习的目的也很明确.全章起于函数模型,终于函数模型,函数模型的应用贯穿始终,使看似零散的内容浑然一体,从不同的方面对典型的问题,多视点宽角度地进行了研究.

 

3.渗透数学思想方法,关注数学文化

 

本章不仅重视数学与实际的联系,而且还重视数学思想方法的渗透.本章所涉及的数学思想方法主要包括:由实际问题抽象为函数模型这一过程中蕴涵的符号化、模型化的思想;研究函数与方程关系的过程中蕴涵的函数与方程的思想;用二分法求方程近似解的过程中解法的程序框图所蕴涵的算法思想.为体现函数建模思想在解决问题中的作用,教科书结合具体问题,从运用函数模型、比较常见函数模型的特点、介绍典型的函数模型、建立函数模型等多个侧面全面地作了体现.为渗透函数与方程的思想,教科书一方面对函数的零点与方程的根进行专门研究,另一方面又在求方程的近似解和函数模型的应用中注意函数与方程的联系.算法思想虽然是数学模块3的内容,但考虑到学生学习的螺旋上升、循序渐进的特点,所以在用二分法求方程的近似解时,教科书给出了解法的程序框图,渗透了算法的思想,同时也为选修系列1中框图的学习奠定了基础.

 

通过教科书来传承古今中外先进的数学文化,介绍数学的发展,反映数学的作用,体现科学的进步,使学生逐步认识数学的科学价值和人文价值,提高科学文化素养,这是本套教科书的一个特色.本章在“阅读与思考”栏目专门介绍了方程求解在中外历史上的发展情况,这不仅给学生认识方程的解提供了更广阔的空间,同时还让学生了解到古今中外不少数学家在方程求解中所取得的成就,特别是可以了解我国古代数学家对数学发展与人类文明的贡献.本章还在函数模型的应用实例和实习作业中,结合教学内容不失时机地介绍了马尔萨斯人口模型和牛顿冷却模型,将数学成果的介绍与学生的学习、实践融为一体,学生通过本章的学习不仅在数学知识和能力方面可以得到提高,而且还能够感受到数学文化的熏陶.

 

4.重视信息技术应用

 

  如何运用信息技术是本章教科书考虑的一个重要问题.信息技术的广泛应用正在对数学课程内容、数学教学、数学学习等方面产生深刻的影响,信息技术工具的使用能为学生的数学学习和发展提供丰富多彩的教育环境和有力的学习工具.要让学生较为全面地体会函数模型的思想,特别是运用函数模型研究广泛的社会实际,就会遇到数据、图象等方面处理上的困难.在以往,由于缺乏信息技术的支持,使得象求方程近似解这样一些更具普遍性的问题的解决寸步难行,象二分法这样一些重要的数学方法难以在教科书中呈现,函数的应用问题也常常局限在一些狭小的范围内,并且研究的问题陈旧,题目人为编造的痕迹明显,不能有效地激发起学生的学习兴趣,更不利于学生分析问题解决问题能力的培养.在本章中,教科书自始至终都充分运用计算器、计算机、数据采集器和传感器等信息技术工具,并在两个不同地方设置了“信息技术应用”栏目,不仅使处理复杂的数据和图象成为可能,还使学生运用信息技术解决本章问题更加得心应手.例如,利用信息技术工具,就可以在不同的范围观察到指数函数、对数函数和幂函数的增长差异.这样,就使学生有机会接触到一些过去难以接触到的数学知识和思想方法,也使教科书在问题的选择上更具广泛性,并更接近真实.学生在学习中,自然会感到耳目一新、亲切自然,并在利用信息技术解决问题的过程中,提高对数学学习的兴趣,加强对数学知识的认识,经历更多的数学建模的过程,增加应用函数模型的机会.

 

5.重视分析、解决问题能力的培养

 

比较指数函数、对数函数以及幂函数间的增长差异,结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义,是本章的一个重要内容.但由于指数函数、对数函数和幂函数的增长变化复杂,这就使得学生在研究过程中可能遇到困难.为了解决这一难点,教科书分三个步骤,创设问题情景,并通过恰点恰时而又层层递进的问题串,让学生在不断的观察、思考和探究的过程中,弄清几个函数间的增长差异,并培养分析问题解决问题的能力.第一步,教科书先创设了一个选择投资方案的问题情景,在解决问题的过程中给出了解析式、数表和图象三种表示,然后提出了三个思考问题,让学生一方面从中体会直线上升和指数爆炸,另一方面也学会如何选择恰当的表示形式对问题进行分析.第二步,教科书又创设了一个选择公司奖励模型的问题情景,让学生在观察和探究的过程中,体会到对数增长模型的特点.第三步,教科书提出了三种函数存在怎样的增长差异的问题.先让学生从不同角度观察指数函数和幂函数的增长图象,从中体会二者的差异;再通过两个探究问题,让学生对幂函数和对数函数的增长差异,以及三种函数的衰减情况进行自主探究.这样的安排可以引导学生积极地开展观察、思考和探究活动,对分析问题、解决问题能力的培养将有积极的推动.

 

三、对教学的几个建议

 

1.注意由浅入深、循序渐进地建立函数与方程的关系

 

对函数与方程的关系有一个逐步认识的过程,教材遵循了由浅入深、循序渐进的原则.分三步来展开这部分的内容.第一步,从学生认为较简单的一元二次方程与相应的二次函数入手,由具体到一般,建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系,然后将其推广到一般方程与相应的函数的情形.第二步,在用二分法求方程近似解的过程中,通过函数图象和性质研究方程的解,体现函数与方程的关系.第三步,在函数模型的应用过程中,通过建立函数模型以及模型的求解,更全面地体现函数与方程的关系逐步建立起函数与方程的联系.

 

2.注意函数与实际问题的联系,体现数学建模的思想

 

我们生活在一个充满变化的多彩世界,其中存在大量问题可以通过体现变量关系的函数模型得到解决,这就为函数的应用的教学提供了大量的实际背景.在本章中,实际问题情境贯穿于教科书的始终,无论是对几种不同增长的函数模型的研究,还是对函数模型的应用举例的学习,都是在解决实际问题的过程中进行的,全章大多数内容都是围绕实际问题的讨论而展开的,反映了函数与现实之间的关系,能提高学生对函数是解决现实问题的一种重要数学模型的认识.

 

利用函数模型解决实际问题是数学应用的一个重要方面.教材一方面注意让学生认识常见函数模型的特点,另一方面还注意选择贴近学生生活实际的各种问题,引导学生用已学过的函数模型分析和解决它们,使函数的学习与实际问题紧密联系,并在解决问题的过程中将数学模型的思想逐步细化,从更高的层面上认识函数与实际问题的关系.

 

3.注意以函数模型的应用为主线,带动相关知识的展开

 

本章除了函数模型的应用之外,还要介绍函数的零点与方程的根的关系,用二分法求方程的近似解,以及几种不同增长的函数模型.教科书在处理上,以函数模型的应用这一内容为主线,以几个重要的函数模型为对象或工具,将各部分内容紧密结合起来,使之成为一个系统的整体.教学中应当注意贯彻教科书的这个意图,是学生经历函数模型应用的完整过程。

 

4.恰当使用信息技术

 

  本章的教学中应当充分使用信息技术。实际上,本章的一些内容,因为涉及大数字运算、大量的数据处理、超越方程求解以及复杂的函数作图,因此如果没有信息技术的支持,教学是不容易展开的。因此,教学中应当加强信息技术的使用力度。

    
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