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  指数函数、对数函数和幂函数是描述现实中某些变化规律的重要的数学模型,是高中阶段学习的三类重要且常用的基本初等函数,也是进一步学习数学的基础。本章中,学生将在第一章学习函数概念的基础上,通过三个具体的基本初等函数的学习,进一步理解函数的概念与性质,学习用函数模型研究和解决一些实际问题的方法。

 

  一、内容和课程学习目标

 

本章主要学习指数函数、对数函数、幂函数等基本初等函数的概念和性质。通过本章学习,应使学生达到以下的学习目标:

 

1.了解指数函数模型的实际背景。

 

2.理解有理指数幂的含义,通过具体实例了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算。

 

3.理解指数函数的概念和意义,能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点。

 

4.在解决简单实际问题的过程中,体会指数函数是一类重要的函数模型。

 

5.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;通过阅读材料,了解对数的发现历史以及对简化运算的作用。

 

6.通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概念,体会对数函数是一类重要的函数模型;能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点。

 

7.知道指数函数y=ax 与对数函数y=loga x互为反函数(a > 0, a1)。

 

8.通过实例,了解幂函数的概念;结合函数y=x, y=x2, y=x3, y=1/x, y=x1/2 的图象,了解它们的变化情况。

 

二、内容安排

 

全章分为三节,教学时间约需15课时,具体分配如下(仅供参考):

 

  21 指数函数                                  6课时

 

  22 对数函数                               6课时

 

  23 幂函数                                  1课时

 

小结                                           2课时

 

本章知识结构如下:

 

 

1.本章首先涉及指数幂的扩充。学生在初中学习了数的开平方、开立方以及二次根式的概念,又学习了正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂,学习了整数指数幂的运算法则.有了这些知识作准备,教科书通过实际问题引出了分数指数幂,说明了扩张指数取值范围的必要性,由此先将平方根与立方根的概念扩充到n次方根,将二次根式的概念扩充到一般根式的概念,然后进一步探究了分数指数幂及其运算性质,最后通过有理指数幂逼近无理指数幂,通过一个实例介绍了无理指数幂的概念,将指数的范围扩充到了实数。

 

2.指数函数是高中新引进的第一个基本初等函数,因此,教科书先给出了指数函数的实际背景,然后对指数函数概念的建立、指数函数图象的绘制、指数函数的基本性质的发现与指数函数的初步应用,作了完整的介绍。指数函数是本章的重点内容之一.

 

3.教科书从具体问题引进对数概念。从对数概念的建立过程可以看出,教科书是从指数运算与对数运算的互逆关系来建立对数概念的(这与历史上对数的发明先于指数不同),这为学生学习时发现与论证对数的运算性质提供了方便。与传统教科书另一个较明显的区别是,这里加强了对数的实际应用与数学文化背景。

 

4.对数函数同指数函数一样,是以对数概念和运算法则作为基础讲授的.对数函数的研究过程也同指数函数的研究过程一样,目的是让学生对建立和研究一个具体函数的方法有较完整的认识。在学习了指数函数与对数函数后,以两个底数相同的指数函数与对数函数介绍了反函数的概念。对一般的反函数概念,教科书根据《标准》的要求没有作更多的介绍,这也是与传统教科书有区别的另一个地方。

 

5.幂函数是实际问题中常见的一类函数,教科书是从具体问题中归纳了以1、2、3、、-1这五个数作为指数的幂函数y=x,并通过它们的图象归纳出这五个幂函数的基本性质。

 

三、本章编写中考虑的几个问题

 

1.以适当的问题带动学生的学习,使他们在解决问题的过程中自主地建构知识

 

本章充分关注高中学生的心理发展和分析能力、思维能力明显增强的特点,强调以问题激发学生的学习动机和兴趣,引起学生的“认知冲突”,使他们带着问题学习。例如,在“指数”与“指数函数”的内容中,教科书先给出了两个实际例子:GDP的增长问题、碳-14的衰减问题。前一个问题是为了让学生回顾初中已经学习过的整数指数幂,体会其中的函数模型;后一个问题是为了让学生进一步感受到指数函数的实际背景,激发学生探究分数指数幂、无理数指数幂的强烈欲望,为新知识的学习作铺垫。

 

又如,在2.1.2的“指数函数及其性质”的学习中,教科书安排了问题“例8 截止到1999年底,我国人口约13亿。如果今后能将人口年平均增长率控制在1%,那么经过20年后,我国人口约为多少(精确到亿)?”在学习“对数”概念时,教科书首先提出的问题是:“在2.1.2的例8中,我们能从关系中,算出任意一个年头的人口总数。反之,如果问‘哪一年的人口数约为18亿,20亿,30亿……?’该如何解决?这样的问题可以使学生看到指数函数、对数函数的研究源于社会生活、生产的需要,可以促进学生在解决问题的过程中理解知识。

 

2.强调学生的动手操作和主动参与,让他们在观察、操作、探究等活动中归纳和发现知识与结论,使学生学习方式的改进落在实处

 

为了促进学生主动学习,提高他们分析问题和解决问题的能力,教科书充分重视为学生提供动手操作与主动参与的机会。例如,在“无理数指数幂”的学习中,不仅让学生根据提供的数据表格,观察无理指数幂是怎样用有理指数幂来逼近的,同时还安排了“思考”,让学生自己动手制表、观察并说明无理指数幂的含义。又如,在绘制指数函数与对数函数图象的过程中,教科书没有提供完整的自变量与函数值的对应值表,而是留空让学生自己填充。再如,在“幂函数”的基本性质的处理上,教科书设计了如下活动:

 

探究 观察图2.3-1,将你发现的结论写在下表内:

 

定义域

 

 

 

 

 

值域

 

 

 

 

 

奇偶性

 

 

 

 

 

单调性

 

 

 

 

 

定点

 

3.积极探索数学课程与信息技术的整合,适当体现信息技术的应用

 

为了更好地发挥信息技术的作用,为学生进行自主探究理解数学本质提供有力的认知工具,本章加强了信息技术与课程内容的整合。如“用有理指数幂逼近无理指数幂”中的近似计算,利用“碳-14”含量测定生物体死亡时间等。特别是在利用指数函数与对数函数的图象发现指数函数与对数函数的基本性质的内容中,教科书安排了以下的内容:

 

探究选取底数)的若干个不同的值,在同一直角坐标系内作出相应的指数函数的图象。观察图象,你能发现它们有哪些共同特征?

 

探究选取底数)的若干个不同的值,在同一直角坐标系内作出相应的对数函数的图象。观察图象,你能发现它们有哪些共同特征?

 

  上述探究活动,为学生使用信息技术发现指数函数与对数函数的基本性质提供了机会,可以让学生在信息技术构建的动态环境下,通过观察函数图象的连续变化,发现指数函数与对数函数的一些基本性质。

 

4. 重视数学知识与实际问题的联系,关注数学应用,让学生体会数学是自然的并且是有用的

 

为了使学生感受指数函数、对数函数的现实和数学背景,使学生感到引进和研究它们的必要性,在本章的每一个概念的产生过程中,都注意了通过具体实例,展示函数模型的实际背景,使学生理解不同的变化现象应当用不同的函数模型来描述。同时,在例题、练习、习题与复习参考题中,安排了较多的实际应用问题,如人口问题、碳-14考古问题、增长率问题、细胞分裂问题、地震震级计算问题、溶液酸度的测量问题、臭氧层保护问题等,以加强本章研究的基本初等函数与现实的联系性。

 

四、对教学的几个建议

 

1.注意把握教学要求

 

与以往教材比较,本章在内容、要求以及处理方式上都发生了许多变化,归纳起来有如下几点:

 

(1)以往教材要求掌握有理指数幂的运算性质不要求学生了解无理指数幂,不要求用有理指数幂逼近无理指数幂;本章要求通过具体实例了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算,并体会“用有理数逼近无理数”的思想。

 

2)以往教材在对数换底公式上没有要求;这里要求学生知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数。

 

3)以往教材要求掌握指数函数、对数函数的概念、图象和性质;这里要求能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点。

 

4)以往教材要求了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系,会求一些简单函数的反函数;这里对反函数的处理,只要求以具体函数为例进行解释和直观理解,只通过比较同底的指数函数和对数函数,说明指数函数y=ax和对数函数y=loga x互为反函数(a > 0,a1,不要求一般地讨论形式化的反函数定义,也不要求求已知函数的反函数。

 

5)以往教材不要求学习幂函数;这里要求通过实例,了解幂函数的概念;结合函数y=x, y=x2, y=x3, y=1/x, y=x1/2 的图象,了解它们的变化情况。

 

(6)以往教材对指数函数与对数函数的应用没有给出明确的要求;这里要求学生在解决简单实际问题的过程中,体会指数函数是一类重要的函数模型,体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用。

 

教学中要切实关注上述变化,把主要精力用在让学生通过具体实例了解指数函数模型、对数函数模型的实际背景,通过实例体会、认识直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型的增长含义,以及了解这些函数模型的广泛应用上,而不要过分地追求那些细枝末节(如求定义域、值域,讨论复合函数的单调性、奇偶性等)。

 

2.突出指数函数与对数函数是现实世界中的重要数学模型,强调它们的实际背景和应用价值。

 

把指数函数、对数函数等作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习,要求结合实际问题,感受运用函数概念建立模型的过程与方法,强调指数函数、对数函数、幂函数是三类不同的函数增长模型,这是本章学习要求的重要变化。因此,要加强让学生通过具体实例了解指数函数、对数函数模型实际背景的教学;要利用适当的事例,让学生体会、认识直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型的增长含义;另外,还可以要求学生通过收集现实生活中普遍使用的函数模型实例,去了解这些函数模型的广泛应用。

 

3.引导学生体会数学知识结构的严谨性。

 

本章中,指数幂概念及其运算性质的拓展内涵了数学研究中对数学知识发展的逻辑合理性、严谨性的要求,教学中要引导学生认真体会。指数幂的运算性质,是在根式与分数指数幂的基础上,先将整数指数幂的运算性质推广到有理指数幂的运算性质;然后在有理指数幂逼近无理指数幂的思想指导下,再将有理指数幂的运算性质推广到了实数范围。指数幂的运算性质的每一次推广,都需要考虑严谨性的要求。

 

4.充分发挥函数图象的几何直观作用,加强数形结合思想教学。

 

数形结合、几何直观等数学思想方法是本章学习中的重要思想方法,它们对于理解本章的几个基本初等函数的性质(例如增长模式)是十分重要的,同时信息技术又使得函数作图变得方便、快捷,并且可以构建一种动态环境,为学生利用图象直观研究函数性质提供了有力工具。因此,教学中应充分注意发挥函数图象的作用,让学生自己作出函数图像,通过观察图象变化规律来研究函数的性质。

 

5.恰当使用信息技术

 

  教科书虽然没有明确提示利用信息技术研究指数函数、对数函数和幂函数的图象与性质,但本章中有许多内容适合使用信息技术,例如指数、对数值的计算;借助计算工具,比较指数函数、对数函数与幂函数增长的差异;借助计算器或计算机画出具体的指数函数、对数函数的图象,探索并理解它们的单调性与特殊点,等等。因此,只要条件允许,教学中就应当充分使用信息技术。

    
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