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第一部分建构主义学习理论简介

建构主义的思想来源于认知加工学说,以及维果斯基、皮亚杰和布鲁纳等人的思想。例如,皮亚杰和布鲁纳等的认知观点──解释如何使客观的知识结构通过个体与之交互作用而内化为认知结构,维果斯基的文化──历史发展理论的广为流传,都是建构主义思想发展的重要基础,为此了解上述理论是深刻理解建构主义必不可少的环节。

一、文化历史的发展观

维果斯基所提出的文化──历史发展理论认为:人的高级心理机能亦即随意的心理过程,并不是人自身所固有的、而是在与周围人的交往过程中产生与发展起来的,是受人类的文化历史所制约的。其实现的具体机制是通过物质工具,如刀斧、计算机等,以及精神工具,如各种符号、词和语言等实现的。

高级心理机能不同于低级心理机能的特点是:

1)它们是随意的、主动的,是由主体按照预定的目的而自觉引起的;(2)它们的反映水平是概括的、抽象的,也就是各种机能由于有思维的参与而高级化;(3)它们实现过程的结构是间接的,是以符号或词为中介的;(4)它们的起源是社会文化历史发展的产物,是受社会规律制约的;(5)从个体发展来看它们是在人际的交往过程中产生和不断发展起来的。

为此,维果斯基特别强调在人的发展过程中社会文化历史的作用,尤其是强调活动和社会交往在人的高级心理机能发展中的突出作用。他认为,高级的心理机能来源于外部动作的内化,这种内化不仅通过教学,也通过日常生活、游戏和劳动等来实现。另一方面,内在的智力动作也外化为实际动作,使主观见之于客观。内化和外化的桥梁便是人的活动。另外,维果斯基在说明教学与发展的关系时,提出了最近发展区的理论。他认为教学必须要考虑儿童已达到的水平并要走在儿童发展的前面。为此,就要确定儿童的发展水平。儿童发展的两种水平:一是现有的发展水平,二是在有指导的情况下借助成人的帮助可以达到的解决问题的水平,或是借助于他人的启发帮助可以达到的较高水平。这两者之间的差距,即儿童现有水平与经过他人帮助可以达到的较高水平之间的差距,就是最近发展区。这一思想对正确理解教育与发展之间的关系,具有重要意义。

二、认知信息加工论

许多认知心理学家把认知看作是对信息的加工。奈瑟(Neisser)认为:认知是指转换、简约、加工、贮存、提取和使用感觉输入的所有过程。认知信息加工理论一个最重要的术语是建构construction),即认知过程是建构性质的。它包括两个过程:首先是基本过程(primary process),它是在受到外部事件或内部经验刺激时马上发生的。这个阶段只是粗略地转换信息,以便根据贮存信息形成想法,这一阶段基本上是自动发生的。其次是二级过程( secondary process),它涉及有意识的控制,是比较精致地转换和建构观念和映象。相比之下,这一过程受贮存信息、个体的意图和期望的影响程度较大些。

认知信息加工学说认为,思维有一种执行控制的机制,就像计算机程序中有一种执行程序一样;认知建构过程中的二级过程的认知运演是习得的,尽管它们部分地受遗传的影响。其中记忆的内容,以及转换和重建内容的策略,也是习得的;同时可以通过对视知觉的类推,来描述和解释记忆和遗忘的过程。

三、皮亚杰认知发展的阶段性理论

皮亚杰(Piaget, J.)提出的认知发展的阶段性理论,具有非常广泛和深远的影响。他认为,儿童认知形成的过程是先出现一些凭直觉产生的概念(并非最简单的概念),这些原始概念构成思维的基础,在此基础上经过综合加工形成新概念,建构新结构,这种过程不断进行,这就是儿童认知结构形成的主要方法。

皮亚杰认为,随着儿童年龄的增长,其认知发展涉及到图式、同化、顺应和平衡四个方面。其中图式是动作的结构或组织,它们在相同或类似的环境中,会由于重复而引起迁移或概括。所谓同化,就是个体将环境因素纳入已有的图式之中,以加强和丰富主体的动作;所谓顺应,就是个体改变自己的动作以适应客观变化。个体就是不断地通过同化与顺应两种方式,来达到自身与客观环境的平衡的。图式最初来自先天的遗传,以后在适应环境的过程中,不断变化、丰富和发展,形成了本质不同的认知图式(或结构)。每一种新的图式的出现,都标志着儿童认知发展进入到了一个新的阶段。为此,他提出具体地表现为以下几个阶段:

第一,感知运动阶段(从出生~2岁左右)。此时语言还未形成,主要通过感知觉来与外界取得平衡,处理主、客观的关系;第二,前运算阶段(2~7岁左右)。语言的出现与发展,使儿童能用表象、言语,以及符号来表征内心世界和外在世界。但其思维还是直觉性的、非逻辑性的,且具有明显的自我中心特征;第三,具体运算阶段(7~11岁左右)。思维具有明显的符号性和逻辑性,能进行简单的逻辑推演。但在很大程度上局限于具体的事物,以及过去的经验,缺乏抽象性;第四,形式运算阶段(11~15岁左右)。能够把思维的形式与内容相分离,能够设定和检验假设,监控和内省自己的思维活动,思维已经进入到了抽象的逻辑思维阶段。

皮亚杰认为,任何人的认知发展都要经历上述四个连续的阶段,且这种连续发展的先后次序是不变的。这种发展模式具有全球性的意义,在任何文化社会中都一样。每一个阶段都是形成下一个阶段的必要条件和基础。虽然,在两个相继发展的认知阶段之间存在着质的差异,但这种差异是思维发展量变到质变的必然结果。

 布鲁纳(J.S.Bruner)认为,教育的主要目的是为学生提供一个现实世界的模式,学生可以借此解决生活中的一切问题。这个模式涉及储存信息的内部系统,而信息是通过人与周围环境的相互作用获得的。学习任何一门学科时,总是由一系列的片断所组成,而每一片断(或一个事件)总是涉及到获得、转换和评价三个过程。布鲁纳由此认为,学生不是被动的知识接受者,而是积极的信息加工者。

布鲁纳强调知识结构的重要性。认为知识结构就是某一学科领域的基本观念,它不仅包括掌握一般原理,而且还包括学习的态度和方法。懂得基本原理可使得学科更容易理解;有利于记忆,适于迁移;能够缩小知识间的初、高级水平层次的间隙。布鲁纳认为,任何学科的基础都可以用某种形式教给任何年龄的任何人。

为实现上述目标,他特别强调教育过程中直觉思维的价值。直觉思维的训练是创造性思维培养的基础。所谓直觉思维是与分析思维(日常教学中注重培养的以一次前进一步,以仔细的规定好的演绎推理或归纳推理为其特征,步骤明显,常常能由思维者向别人作适当的报道的思维方式)不同,直觉思维以熟悉所牵涉到的知识领域及其结构为根据,使思维者可能实行跃进、越级和采取捷径,但是以后需要用比较分析的方法(不论演绎法或归纳法),重新检验所作的结论。

同时,他强调学习是一个主动的过程。应该作出更多的努力使学生对学习产生兴趣,主动地参加到学习中去、并且从个人方面体验到有能力来对待他的外部世界。为激发学生的学习动机,布鲁纳提倡采取发现学习的教学方式。他认为学习、了解一般的原理原则固然重要,但尤其重要的是发展一种态度,即探索新情境的态度,作出假设,推测关系,应用自己的能力,以解决新问题或发现新事物的态度。所谓发现,当然不只限于发现人类尚未知晓的事物的行动,而且还包括用自己头脑亲自获得知识的一切形式。

五、当代建构主义学习理论的发展

1.建构主义的知识观。

·知识不是对现实的纯粹客观的反映,任何一种传载知识的符号系统也不是绝对真实的表征。它只不过是人们对客观世界的一种解释、假设或假说,它不是问题的最终答案,它必将随着人们认识程度的深入而不断地变革、升华和改写,出现新的解释和假设。

·知识并不能绝对准确无误地概括世界的法则,提供对任何活动或问题解决都适用的方法。在具体的问题解决中,知识是不可能一用就准,一用就灵的,而是需要针对具体问题的情境对原有知识进行再加工和再创造。

·知识不可能以实体的形式存在于个体之外,尽管通过语言赋予了知识一定的外在形式,并且获得了较为普通的认同,但这并不意味着学习者对这种知识有同样的理解。真正的理解只能由学习者自身基于自己的经验背景而建构起来,取决于特定情境下的学习活动过程。否则,就不叫理解,而是叫死记硬背或生吞活剥,是被动的复制式的学习。

显然,这种知识观是对传统课程和教学理论的巨大挑战。照建构主义看来,课本知识,只是一种关于某种现象的较为可靠的解释或假设,并不是解释现实世界的绝对参照。某一社会发展阶段的科学知识固然包含真理,但是并不意味着终极答案,随着社会的发展,肯定还会有更真实的解释。更为重要的是,任何知识在为个体接收之前,对个体来说是没有什么意义的,也无权威性可言。所以,教学不能把知识作为预先决定了的东西教给学生,不要以我们对知识的理解方式来作为让学生接收的理由,用社会性的权威去压服学生。学生对知识的接收,只能由他自己来建构完成,以他们自己的经验为背景,来分析知识的合理性。在学习过程中,学生不仅理解新知识,而且对新知识进行分析、检验和批判。

2.建构主义的学习观。

·当代建构主义者主张,世界是客观存在的,但是对于世界的理解和赋予意义却是由每个人自己决定的。我们是以自己的经验为基础来建构现实,或者至少说是在解释现实,每个人的经验世界是用我们自己的头脑创建的,由于我们的经验以及对经验的信念不同,于是我们对外部世界的理解便也迥异。所以,学习不是由教师把知识简单地传递给学生,而是由学生自己建构知识的过程。学生不是简单被动地接收信息,而是主动地建构知识的意义,这种建构是无法由他人来代替的。

·学习过程同时包含两方面的建构:一方面是对新信息的意义的建构,同时又包含对原有经验的改造和重组。这与皮亚杰关于通过同化与顺应而实现的双向建构的过程是一致的。只是建构主义者更重视后一种建构,强调学习者在学习过程种并不是发展起供日后提取出来以指导活动的图式或命题网络,相反,他们形成的对概念的理解是丰富的、有着经验背景的,从而在面临新的情境时,能够灵活地建构起用于指导活动的图式。

·任何学科的学习和理解都不像在白纸上画画,学习总要涉及到学习者原有的认知结构,学习者总是以其自身的经验,包括正规学习前的非正规学习和科学概念学习前的日常概念,来理解和建构新的知识和信息。即学习不是被动接收信息刺激,而是主动地建构意义,是根据自己的经验背景,对外部信息进行主动的选择、加工和处理,从而获得自己的意义。外部信息本身没有什么意义,意义是学习者通过新旧知识经验间的反复的、双向的相互作用过程而建构成的。因此,学习不是像行为主义所描述的刺激──反应那样。学习意义的获得,是每个学习者以自己原有的知识经验为基础,对新信息重新认识和编码,建构自己的理解。在这一过程中,学习者原有的知识经验因为新知识经验的进入而发生调整和改变。所以,建构主义者关注如何以原有的经验、心理结构和信念为基础来建构知识。

3.建构主义的教学观。

建构主义者强调学习的主动性、社会性和情境性,对学习和教学提出了许多新的见解,主要有:

·由于事物的意义并非完全独立于我们而存在,而是源于我们的建构,每个人都以自己的方式理解事物的某些方面,教学要增进学生之间的合作,使学生看到那些与他不同的观点的基础。因此,合作学习(cooperative learning)受到建构主义者的广泛重视。这些思想是与维果斯基对于社会交往在儿童心理发展中的作用的重视的思想相一致的。学习者以自己的方式建构对于事物的理解,从而不同的人看到的是事物的不同的方面,不存在唯一的标准的理解,通过学习者的合作使理解更加丰富和全面。

·教学不能无视学习者的已有知识经验,简单强硬地从外部对学习者实施知识的填灌,而是应当把学习者原有的知识经验作为新知识的生长点,引导学习者从原有的知识经验中,生长新的知识经验。这一思想与维果斯基的最近发展区的思想相一致。教学不是知识的传递,而是知识的处理和转换。

教师不单是知识的呈现者,不是知识权威的象征,而应该重视学生自己对各种现象的理解,倾听他们时下的看法,思考他们这些想法的由来,并以此为据,引导学生丰富或调整自己的解释。教学应在教师指导下以学习者为中心,当然强调学习者的主体作用,也不能忽视教师的主导作用。教师的作用从传统的传递知识的权威转变为学生学习的辅导者,成为学生学习的高级伙伴或合作者。教师是意义建构的帮助者、促进者,而不是知识的提供者和灌输者。学生是学习信息加工的主体,是意义建构的主动者,而不是知识的被动接收者和被灌输的对象。简言之,教师是教学的引导者,并将监控学习和探索的责任也由教师为主转向学生为主,最终要使学生达到独立学习的程度。

·提倡情境性教学。建构主义认为,学习者的知识是在一定的情境下,借助他人的帮助,如人与人之间的协作、交流、利用必要的信息等等,通过意义的建构而获得的。理想的学习环境应当包括情境、协作、交流和意义建构四个部分。学习环境中的情境必须有利于学习者对所学内容的意义建构。在教学设计中,创设有利于学习者建构意义的情境是最重要的环节或方面;协作:应该贯穿于整个学习活动过程中。教师与学生之间,学生与学生之间的协作;交流:交流是协作过程中最基本的方式或环节。其实,协作学习的过程就是交流的过程,在这个过程中,每个学习者的想法都为整个学习群体所共享。交流对于推进每个学习者的学习进程,是至关重要的手段;意义的建构是教学活动的最终目标,一切都要围绕这种最终目标来进行。

同时,教学应使学习在与现实情境相类似的情境中发生,以解决学生在现实生活中遇到的问题为目标,为此学习内容要选择真实性任务(authentic task),不能对其做过于简单化的处理,使其远离现实的问题情境。由于具体问题往往都同时与多个概念理论相关,所以,它们主张弱化学科界限,强调学科间的交叉。这种教学过程与现实的问题解决过程相类似,所需要的工具往往隐含于情境当中,教师并不是将提前已准备好的内容教给学生,而是在课堂上展示出与现实中专家解决问题相类似的探索过程(甚至有人主张教师不要备课),提供解决问题的原型,并指导学生的探索。主张,一方面要提供建构理解所需的基础,同时又要留给学生广阔的建构空间,让他们针对具体情境采用适当的策略。

在教学进程的设计上,建构主义者提出如果教学简单得脱离情境,就不应从简单到复杂。而要呈现整体性的任务,让学生尝试进行问题的解决,在此过程中学生要自己发现完成整体任务所需实现完成的子任务,以及完成各级任务所需的各级知识技能。教学活动中,不必非要组成严格的直线型层级,因为知识是由围绕着关键概念的网络结构所组成,它包括事实、概念、概括化以及有关的价值、意向、过程知识、条件知识等。学生可以从知识结构网络的任何部分进入或开始。即教师既可以从要求学生解决一个实际问题开始教学,也可以从给一个规则入手。在教学中,首先选择与儿童生活经验有关的问题(这种问题并不是被过于简单化),同时提供用于更好地理解和解决问题的工具。而后让学生单个地或在小组中进行探索,发现解决问题所需的基本知识技能,在掌握这些知识技能的基础上,最终使问题得以解决。

·学习可以分为初级学习与高级学习两种层次。初级学习是学习中的低级阶段,教师只要求学生知道一些重要的概念和事实,在作业中学生只要将他们所学的东西按原样再生出来,为此,初级学习的内容主要是结构良好的领域(well-structured domain)。

传统教学往往混淆了初级学习与高级学习之间的界限,将初级学习阶段的教学策略(如将整体分割为部分、着眼于普遍原则的学习、建立单一标准的基本表征等)不合理地推及到高级学习阶段的教学中;同时,教学设计从低到高、由局部到整体地展开学习过程的做法,使得教学过于简单化。这种简单化使得学生的理解简单片面,妨碍了学习在具体情境中更广泛而灵活地迁移。

建构主义的目的就是要寻求适合于高级学习的教学途径。其中适合于高级学习的教学途径之一就是随机通达教学(Random Access Instruction)。随机通达教学认为,对同一内容的学习要在不同时间多次进行,每次的情境都是经过改组的,而且目的不同分别着眼于问题的不同侧面。这种反复绝非为巩固知识技能而进行的简单重复,因为在各次学习的情境中会有互不重合的地方,而这将使学习者对概念知识获得新的理解。这种教学避免抽象地谈概念的一般运用,而是把概念具体到一定的实例中,并与具体情境联系起来。每个概念的教学都要涵盖充分的实例(变式),分别用于说明不同方面的含义,而且各实例都可能同时涉及到其它概念。在这种学习中,学习者可以形成对概念的多角度理解,并与具体情境联系起来,形成背景性经验。这种教学有利于学习者针对具体情境建构用于指引问题解决的图式。可以看出,这种思想与布鲁纳关于训练多样性的思想是一致的,是这种思想的深入发展。

六、对建构主义理论的简评

建构主义者在吸收维果斯基、认知信息加工学说、皮亚杰、布鲁纳等思想的基础上提出的许多富有创见的教学思想,如强调学习过程中学习者的主动性、建构性;对于学习做了初级与高级学习的区分,批评传统教学中把初级学习的教学策略不合理地推及到高级学习中;提出合作学习、情境性教学等,对深化当前的教育教学改革具有深远的意义。

但是,传统教学重视知识的确定性和普遍性,注重分析和抽象,这在学习的初级阶段是必要且有其合理性的。全盘否定它,同样会犯以偏概全,以特殊代替一般的错误,会引起教学上的混乱。提倡情境性教学,力主具体和真实,但由此而反对抽象和概括,认为进行抽象的训练是没有用的也是片面的。

我们应该以辨证唯物主义为指导,全面衡量学习中的具体与抽象、初级与高级学习等之间的关系。正确处理学生学习与人类学习之间的关系,不要忽视学生学习的特殊性。学生的学习主要是掌握间接经验的过程,由此它与人类认识客观世界的过程有所不同。人类认识是从实践活动开始的,而学生的学习过程则未必如此。学生既可以从实践,从学习具体经验开始,也可以从学习间接经验、现有的经验、理论、结论开始,同时补充以感性经验。而且,从教育的功能上看,间接经验的学习形式仍是主要的,学生的学习不可能事事从直接经验开始。这就要求教师在教学过程中注意把学校学习与实际生活以及学生的原有经验紧密相联。

第二部分名词解释

创新意识

一个人根据社会和个体生活发展的新需要,引起某种创造动机,表现出创造的意向和愿望,这种创造意向和愿望就是创新意识。创新意识是人们进行创造性活动的出发点和内在动力,它以感知、记忆、思考想象等能力为基础,体现着智力品质的综合性,并表现出目的性、探索性、求新性和超越性的基本特征。创新意识是创造力得以发挥得前提条件,具有创新意识的人才能对已积累的知识和经验进行科学的加工创造,产生新知识、新思想、新概念、新成果或新产品。

一般来讲,科学创新的基础在于知识准备,因为创造不能凭空乱想,知之甚少或知之不多是无法创新的。惟有知之甚多,才能为创新意识的形成提供肥沃而宽广的土壤。同时,还要锻炼思维的批判性,因为习惯和传统是创造的顽敌。当然,避免狭隘性,培养虚怀若谷的非智力因素方面的品格也是创新意识培养的重要方法。

实践能力

实践是人们改造客观世界的一切活动,是主观见之于客观的东西。由于活动是人存在和发展的方式,是人的主体性生成和发展的源泉和能力。因此,当代教育学强调对学生实践能力的培养。

实践具有如下的特点:第一,实践是客观的、物质的活动。实践虽是人们在一定思想指导下所从事的改造客观世界的活动,但任何实践活动都是由实践的主体(人)、实践的手段(工具、机器、设备等)和实践的对象(客观世界)等客观的、物质的要素构成的,并且在实践过程中要受客观物质世界及其规律所制约。只有按照客观物质世界的规律进行才能取得成功,如果不按照客观物质世界的规律进行就要遭到失败。因此实践具有直接现实性的优点,实践的结果能为人们提供现实的物质成果。所以实践是客观的物质活动。第二,实践是能动的活动。实践是人所独有的、有目的、有意识、有计划进行的活动,它能够为人们创造出自然界所没有的东西。第三,实践是社会的活动。人是社会的人,人是生活在一定的社会关系之中的,人的实践是在一定的社会关系之中进行的,所以实践是社会的实践。

实践的形式是多种多样的,但基本形式是日常生活、生产实践,以及科学实验。这三项基本形式各有其独特的作用,但同时它们又是相互联系、相互作用的,构成一个统一的整体。

能力在心理学中的含义是指人们成功地完成某种活动所必需的个性心理特征。它有两层涵义:一是指已表现出来的实际能力和已达到的某种熟练程度,可用成就测验来测量;二是指潜在能力,即尚未表现出来的心理能量,通过学习与训练后可能发展起来的能力与可能达到的某种熟练程度,可用性向测验来测量。心理潜能是一个抽象的概念,它只是各种能力展现的可能性,只有在遗传与成熟的基础上,通过学习才可能变成实际操作能力,心理潜能是实际能力形成的基础和条件,而实际操作能力是心理潜能的展现,二者是不可分割的统一体。

由此可见,实践能力主要是指人们在各种实践活动中所展现出来的完成该活动所必需的个性心理特征。

在教学过程中对学生实践能力的培养主要做法是,要最大限度地调动学生的积极性,使他们主动地动口、动手、动眼、动耳、动脑,去做、去实际操作、体验和表现,实现学生学习活动方式的自主、参与和合作。

应用意识

在此要搞清两个概念,这就是应用数学数学的应用。在以往长期的数学研究过程中,数学家习惯地常将数学分为两类:一类是纯粹数学,它主要研究数学本身的内部规律,暂时撇开具体内容而以纯粹形式研究事物的量的关系和空间形式;另一类是应用数学,它主要是从数学领域之外的自然现象、社会现象等的研究中产生的,着眼于解决实际问题,解释和说明各种自然现象、社会现象,从而把量的关系与空间形式同事物的质联系在一起来研究。二者常常在研究的动机、态度、方法以及满意的标准方面各不相同。但二者之间又是紧密相联的:对纯粹数学来说,应用数学是它的一个重要源泉,而且现在仍然是纯粹数学灵感的经常的来源──但是,那不是绝对必需的;对应用数学来说,纯粹数学的概念和演绎法是一种工具,一种布局的计划,而且常常是对客观世界的真理的一种强有力的启示,因此是应用数学的有机整体中一个不可缺少的部分。

这样一来,应用数学就成了一个专有名词。而关于数学的应用,主要是从数学科学本身的特点──具有高度的抽象性、严谨的逻辑性,从而导致具有广泛的应用性的角度来说明数学学科的作用,特别是它在教育中的对人的发展的重要作用的。也就是说,数学的应用强调的是掌握数学科学的理论,并将其应用于现实之中。它与应用数学的区别是,后者带有浓厚的研究的色彩,而数学的应用更突出的是学习与使用数学科学已有的成果。

在数学教育中,我们所说的应用意识主要是指数学的应用这方面的含义。也就是说,看到了数学的普遍应用性特点。数学的结果──定理和理论──既重要又有用;不仅如此,最好的结果还是精美而且深刻的。通过其定理,数学向科学既提供了真理的基础,也提供了正确性的标准。

除了定理和理论外,数学还提供了有特色的思考方式,包括建立模型、抽象化、最优化、逻辑分析、从数据进行推断,以及运用符号等,它们是普遍适用并且强有力的思考方式。应用这些数学思考的方式的经验构成了数学能力──在当今这个技术时代日益重要的一种智力,它使人们能批判地阅读,能识别谬误,能探察偏见,能估计风险,能提出变通办法。数学能使我们更好地了解我们生活在其中的充满信息的世界。

为此,数学教育中提出要对学生进行数学的应用意识的培养。此时,应用意识的主要含义是指,善于从数学的角度,用数学的语言、知识、思想方法去描述、理解、思考和解决各种问题的心理倾向性。

在中小学数学课程中,培养应用意识的做法可从三个方面展开:一是将数学知识应用在数学课内,通过一些简单的应用可以直接引起学生的学习动机,让学生看到数学知识的用处;二是将数学应用在其他学科的学习中,通过数学与其他学科的联系,使学生深刻认识到数学科学的思想方法对于科学发展的作用;三是将数学应用于实践活动中,通过用数学的知识解决现实生活的问题,培养学生的应用意识。

问题情境──建立模式──解释、应用与拓展

由于数学揭示出隐蔽的模式以帮助我们了解周围的世界,而且当代的数学已经远不止是算术和几何、而是一门丰富多彩的学科了。当代的数学所处理的是科学中的数据、测量、观测资料;是推断、演绎、证明;是自然现象、人类行为、社会系统的数学模型。从数据到演绎到应用的循环一再出现在所有用到数学的地方,从诸如计划长途旅行之类的日常家务事到诸如航空运输计划或投资业务的管理之类的重大管理问题。数学的过程远远超出了仅仅是计算或演绎,它涉及模式的观察,猜测的检验以及结果的估计。因此,实际上,数学是模式和秩序的科学。数学的领域不是分子或细胞,而是数、机会、形状、算法和变化。作为研究抽象对象的科学,数学依靠逻辑而不是观测结果作为其真理标准,但数学也使用观测、模拟甚至实验作为发现真理的手段。

这样一来,通过对各种数学活动进行足够深度的分析,就可发现它至少分为三个阶段:(1)借助于观察、试验、归纳、类比、概括等手段来积累事实材料;(2)由事实材料中抽象出概念体系,以及由此而演绎地建立起来数学理论;(3)数学理论应用的阶段。

传统教学过于重视第二阶段的教学,结果造成学生所学的数学知识不能学以致用,不知数学理论的来龙去脉。为克服这些不足,现代数学教育教学提倡上述三个阶段对学生的数学学习具有同等重要的作用。同时,按照建构主义的观点,数学教学应为学生创设问题情境,以便学生能够积累内容丰富并且容易理解的事实材料。这样才能按照现代人们对数学科学的理解:数学是关于模式和秩序的科学,从而提出数学教学应该培养学生学习建立模式的各种方法。当然,大多数人学习数学的目的不仅仅是为了领会或理解数学,而是为了使用数学。因此,解释、应用与拓展所学习的数学理论就应是数学学习的最终目的。

 

    
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