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数与计算是人们在日常生活中应用最多的数学知识,因此它历来是小学数学教学的基本内容,培养小学生的计算能力也一直是小学数学教学的主要目的之一。但是,随着科学技术的发展,尤其是计算机和计算器的逐步普及,数与计算中的哪些知识是大多数人最常用的和最基础的知识也在发生着变化。了解和研究这种变化,重新审视相应的教学内容和教学要求是小学数学课程教材改革研究的任务之一。本文将结合数与计算教学的意义、变革以及所取得的成绩,谈一谈对数与计算教学改革的一些粗浅认识。

一、数与计算教学的意义和重要性

1.数与计算在日常生活、工作和学习中有广泛的应用。

现实世界从数学的角度来看,主要是数、量、形三个方面,而计量又离不开数与计算,形体大小要量化也离不开数与计算。因此数与计算是人们认识客观世界最基本的工具,是每个公民应当掌握的基础知识和基本技能。

2.数与计算对培养学生的思维能力有重要作用。

1)掌握数与计算的过程也是培养学生抽象概括能力的过程。

数与计算的每一个概念、性质、法则、公式都是从实际中抽象出来的。这些概念、性质、法则和公式的教学一般都是通过具体的实例进行的,因此学生学习、理解和掌握这些知识,都必须经过从具体到抽象、从特殊到一般的过程;而把这些概念、性质、法则、公式应用到实际中去又必须经过从抽象到具体,从一般到特殊的过程,这样学生在学习掌握数与计算知识的过程中也发展了抽象概括能力。

2)数与计算的教学有利于渗透辩证唯物主义观点的启蒙教育。

数概念是随着人类生活和实践的需要逐渐形成和不断发展的。在小学数学中数概念的认识,从自然数、零到分数、小数基本上体现了数的发展过程,学生在建立这些数概念的过程中受到了历史唯物主义观点的熏陶。而数与计算中又有很多相互依存、对立统一的概念和计算方法。如整数与分数、约数与倍数,加与减、乘与除、通分与约分等等。教学中阐明这些相互依存的概念与概念、计算方法与计算方法之间的相互关系,也就渗透了辩证唯物主义观点的启蒙教育。

3.掌握一定的数与计算的知识将使人终身受益。

人的一生一般要经过幼儿时期、学生时期和成人时期,数与计算在其中每一个时期都起着很重要的作用。幼儿时期,从呀呀学语开始,就接触到数,家长扳着指头教孩子数家里有几口人,桌子上有几个苹果等等,上幼儿园以后,又学习一些简单的数与计算知识。幼儿如果没有一点数的知识,就会连自己有几只手,有几件玩具、家里有几口人,这些简单的问题也弄不清楚。因此只有使幼儿掌握一些粗浅的数与计算的知识,才能使他们比较正确地认识周围的客观事物,才能比较清楚地用语言表达自己的思想。学生时期,数与计算是学生进一步学习数学和其他科学知识的基础。成人时期,计算能力是人们学习、工作、生活所必须的一项基本能力,也是衡量一个人素质的一个基本标准。82年英国出版了国家学校数学教育研究委员会著名的《cockcroft报告》,该报告认为:“读数和计数、知道时间、购物付款和找零、计重和测量、看懂浅易的时间表及简单的图表及图示,以及完成与此有关的必要计算”以及“估算和近似计算的能力”是成年人生活、工作以及进一步学习对数学的需要。

由此可见,数与计算将伴随人的一生。一个人在成人以后所需的数学知识,基本上在小学阶段就学全了。因此,在小学阶段学好数与计算的基础知识,并形成一定的计算能力,是终身受益的。

4.数与计算是科学技术的基础

“国家的繁荣富强,关键在于高新科技和高效率的经济管理”这是当代有识之士的共同见解,也已为各发达国家的历史所证实。而当代科技的一个突出特点是定量化。在许多现代化的设计和控制中,从一个大工程的战略计划、新产品的制作、成本的结算、施工、验收,到贮存、运输、销售和维修等等都必须十分精确在规定大小、方位、时间、速度、成本等数字指标。而这些数字指标的获得离不开计算。如果说高新技术的基础是数学,那么计算则是高新技术的基础的基础。

综上所述,数与计算是人们正确地认识客观事物,解决日常生活和工作中实际问题,进行科学研究的重要工具。掌握一定的数与计算的知识已成为现代社会公民应当具备的文化素养之一。

5.数与计算教学的变革

我国小学数学历来都非常重视数与计算教学。新中国成立以来,我国小学数学的数与计算教学有过多次变革。

50年代,我们主要参照苏联的小学算术大纲,以苏联教材为蓝本编写教材。这时整数的循环比较多,教学的数比较大,一般学到12位,小数、分数的学习没有循环。名数的化法聚法教得比较多并且计算比较复杂。当时我国的实际是大多数小学毕业生不能升入初中,而要参加生产劳动,虽然为了适应这种需要,在小学算术中增加了农业生产合作社的简单簿记并加强了珠算。但由于机械地照搬外国经验,把苏联小学四年的教学内容拉成了五年,致使分数、小数、百分数等内容没有学全,降低了小学算术的程度。为了更好地适应我国社会主义建设发展的需要,50年代末至60年代初,我们把初中算术的部分内容下放到小学,强调以“以四则计算为中心”提高了小学毕业生的数学水平。1978年,教育部颁发了《全日制十年制小学数学教学大纲(试行草案)》,将“算术”课本更名为“数学”,采取“精选、增加、渗透”的六字方针,把“培养四则计算能力”作为主要的教学目的之一,不再提“以四则计算能力为中心”,这样就使计算教学处于一个更恰当的位置。

1992年颁布的《九年义务教育全日制小学数学教学大纲(试用)》,根据计算机和计算器等现代计算工具的逐步普及的现状,对计算的内容和要求做了比较大的调整,在保证小学生具有一定计算能力的前提下,对那些实用价值不大,对进一步学习也无直接帮助的内容进行了删减,并降低要求。新大纲规定:笔算加减以三、四位数的为主,一般不超过五位数;笔算乘除以乘数、除数是两位数的为主,一般不超过三位数乘三位数和相应的除法;四则混合运算以二、三步的为主,最多不超过四步;珠算只学加减法,而在使用珠算较多的地区,也可以多学些珠算;分数四则以分子、分母比较简单的和大部分可以口算的为主;删去繁分数。根据需要,把“教学要求”也作了调整,分为会、比较熟练、熟练这三个层次。20以内加减法及表内乘除要求熟练掌握,100以内、万以内的加减法;乘数,除数是一位数、两位数的乘除法;小数四则笔算和简单的口算、分数四则笔算要求比较熟练,乘数、除数是三位的乘除法,以及有关的四则混合运算,简单的分数四则口算和分数、小数四则混合运算只要求会计算。

从上述不同年代数与计算教学的情况,我们不难看到,数与计算教学的内容和要求是随着社会发展的需要而不断变化的。

二、计算教学改革的主要成绩

四十多年来,经过广大教师和科研人员的共同努力,数与计算教学的改革已取得了一些可喜的成绩,主要体现在下面几个方面。

1.重视数概念的教学

首先调整了整数教学的分段。义务教材把整数教学从原来的四段改为五段,即“20以内”、“100以内”、“万以内”、“亿以内”、“亿以上”五段。同时调整了后三段的教学重点。“万以内”这个阶段,除了重点教学三、四位数的加减法、乘数、除数是一位数的乘、除法外,还增加了乘数、除数是两位数的乘、除法。由于乘、除的数目限制在比较小的范围内,学生比较容易掌握,也能节省教学时间。“亿以内”这个阶段把认数范围扩大到万级,重点教学乘数、除数是三位数的乘、除法,四则运算中各部分间的关系,以及一些简便运算。“亿以上”这个阶段,再把认数的范围扩展到亿级,重点教学自然数和整数的概念,十进制计数法,整数四则运算的意义,运算定律等。实验表明,把亿以上的数和一部分概括性的知识移到四年级教学,学生比较容易理解和掌握,并能促进学生逻辑思维能力的发展。其次,教材除保留原通用教材中的计数单位、数位、数的分级、求一个数的近似数外,从一年级起就加强数序、数的组成、数的大小比较的教学。如,在万以内数的认识中,增加了数的组成教学,以帮助学生更好地理解万以内数的含义、数位以及更顺利地读、写数。

2.笔算教学强调理解算理和合理地运用计算方法

重视笔算是我国小学数学教学的传统,我国学生计算能力之强是举世瞩目的。但是随着现代计算工具的逐步普及,笔算教学的意义也在发生变化。反对过份的训练,繁杂的题目,过高的熟练要求已是国际性的共识。但反对过份的笔算,并不是不要笔算。笔算,作为小学数学教学的最基础的知识和技能,还是要让学生在理解的基础上掌握。只是要适当,把教学的重点放在理解算理上。义务教材在这方面的改革是显著的,除了较好地落实大纲精简繁难计算的要求外,还把教学的重点放到了让学生较好地理解算理上。具体采取了下面一些措施:

1)在低年级通过直观、操作,让学生理解四则运算的意义。如,通过把两堆物体(可数的)合并起来,说明加法的含义;通过摆实物教具,使学生明确乘法就是几个几相加的简便算法。

2)通过直观操作帮助学生理解笔算的算理。如一位数除两位数商两位数,十位上除后有余数的除法。学生对十位除后余下的数要与个位上的数合并再继续除,比较难以理解。教材把竖式的写法和小棒的分法结合起来帮助学生理解算理。如右图的52÷2。

3)把作为笔算基础的口算放在笔算之前教学。根据口算、笔算的特点,以及小学生学习每种计算方式的认识规律,义务教材在口算、笔算的编排顺序方面做了一些调整,把作为笔算基础的口算放在笔算之前教学。如,教学一位数乘多位数的笔算乘法之前,先教学一位数乘整十、整百、整千数和一位数乘两位数等口算,学生有了这些口算基础,就便于理解和掌握笔算的方法和步骤。

4)在中、高年级注意运用知识的迁移、类推规律,引导学生获取新知识。如,乘数是三位数的乘法,就是在乘数是两位数的乘法的基础上,引导学生自己想出乘数百位上的数该怎样乘,乘得的末位数该写在哪一位,由此来理解和掌握其计算的算理和方法的。

5)在整个小学数学教学中,都强调灵活地运用合理、简便的计算方法,要求怎样计算合理、简便就怎样计算。

3.加强口算。

口算是不借助任何工具,只凭思维和语言进行计算并得出结果的一种计算方法,它具有快速、灵活的特点。

口算是计算能力的一个重要组成部分。首先,口算是笔算、估算的基础,笔算和估算能力是在准确、熟练的口算能力的基础上发展起来的,没有一定的口算基础,笔算、估算能力的培养就成了无源之水。其次,口算在日常生活、生产和科学研究中有极其广泛的应用。因此良好的口算能力不仅是学习任何其他数学知识的基础,而且,计算的合理、简捷、迅速、正确也反映了一个人的数学素养。在发扬我国重视基本口算的优良传统下,《九义大纲》明确提出“适当加强中、高年级的口算”,要求能比较熟练地进行简单的小数四则和分数四则口算。为了体现这一要求,义务教材采取了一些具体措施:

1)口算教学贯穿于小学数学教学的全过程。低年级有20以内加减法,表内乘、除法等基本口算;中年级安排了一些作为笔算基础和一些日常生活中的经常使用的口算;高年级在习题中安排一些利用运算定律进行口算的题目,以培养学生灵活运用知识的能力和口算能力。

2)注意经常性的口算练习。注意在每一个练习中都带着练习前面学过的口算,每一册教科书的后面都附有口算卡片,并且每一册教学参考书都对本学期的口算提出分阶段要求,使口算能力的培养落到实处。

3)注意口算算理的教学。口算例题都注意通过直观、操作使学生理解算理。

4)合理安排口算。义务教材把作为笔算基础的基本口算放在笔算之前教学,而一些较难的但又不是最基本的口算,则放在笔算之后教学,以便进一步提高学生的口算能力。例如,20以内的加减法是加减法的重要基础,只教口算。100以内的加减法中,两位数加、减一位数和整十数,如27+6,27+30,是笔算的基础,也是进一步学习口算的基础。因此把这部分内容放在笔算之前,只教学口算;而两位数加、减两位数,学生掌握要困难些,所以一年级先教笔算,二年级再进一步要求会口算。这样使学生既能学好笔算,又能形成较强的口算能力。

4.适当注意估算。

估算是人们在日常生活、工作和生产中,对一些无法或没有必要进行精确测量和计算的数量,进行近似的或粗略估计的一种方法。如估计一定空间的人数,一段距离的长度、一个房间的面积、一定款项可购的货物数等等。

在现代化的社会中,复杂的计算都可以由计算机或计算器来完成,日常生活和工作中估算的作用越来越突出。如,人们在使用工具进行计算中,由于操作上的失误会使计算结果有很大的误差,这就要求人们具有一定的估算能力,能对计算结果的合理性(是否在正确结果的范围内)进行判断,并对其合理性做出解释。另外,估算还可以用于平时的计算,在计算前对结果进行估算,可以使学生合理、灵活地用多种方法去思考问题,在计算后对结果进行估算,可以使学生获得一种最有价值的检验结果的方法。所以估算能力是现代化社会生活的需要,是衡量人们计算能力的一个重要标准。重视、加强估算已成为一个世界性的潮流。义务教材已经引入了一些有关估算的教学内容,这在我国小学数学教材的历史上还是第一次。教材在处理这一内容时,考虑到教师接受的具体情况,所安排的估算内容只涉及到计算。具体做法是:在传统的用四舍五入法求近似数的基础上,在多位数四则运算中教学简单的估算及运用估算对四则运算的结果进行粗略的检验。

三、需要进一步研究和思考的问题

虽然数与计算教学已经取得了一些成绩,但随着社会的不断发展,人们对计算的认识和要求也在不断的发展,因此有必要对数与计算教学做进一步的研究,以适应社会生活的需要。

1.进一步删减笔算内容

由于先进而简便的计算工具的逐步普及,社会生活对笔算技能的要求正在逐步降低,计算教学中的笔算教学也必须进行改革。虽然义务教育大纲删减了一些教学内容,降低了对大数目计算和多步骤繁难计算的要求。但是,笔算内容所占的比例仍然很大。而且从目前来看这些笔算内容并不都是最基本的。如,乘、除数是三位数的乘、除法。这些笔算算理、算法和相应的数目较小的计算基本相同,只是数目变大了。再如,一些步数比较多的计算。如三步文字题、四步整、小、分数混合运算等。对于前者可以进一步研究处理的方法,后者则可以删减。这样就可以腾出时间,教学那些与社会发展要求相吻合的、更有用、更有价值的内容。

2.进一步加强数的意识的培养。

所谓数的意识是指对数的含义和关系有所了解,对数的相对大小有所理解,对数的运算及其产生的效果有直观的认识,对周围事物能够有一个数量上的概念。义务教材在培养学生数的意识方面,做了一些尝试,取得了不少成绩,但有些方面还可以进一步加强。例如,如何培养学生对周围事物能够有一个数量上的概念,加强数与现实生活的联系等,可以通过丰富的反映学生生活的实例引入数概念,使学生认识到数存在于日常生活中,与人们的工作、学习、生活息息相关,学会有意识地从数的角度去思考问题,解决问题。

3.加强估算,培养估算意识。

对于估算,专家学者都认为在小学数学中应该让学生学习一定的估算知识,培养一定的估算能力。但是目前我国小学数学中估算内容仅作为选学内容来处理,且由于这部分内容在编排时,呈现的形式比较单一,在整套教材中没能体现出对学生估算能力的培养的完整意图,使教师认为这部分内容可有可无。笔者认为要加强估算,首先应该把估算作为正式的必学的内容确定下来,使估算能力的培养得到基本的保证。第二要把估算作为一种重要的思想方法教给学生。教材的编排要体现这一点可以结合计算进行教学,也可以结合其他数学知识的教学进行。第三在教给学生基本的估算方法以后,要安排让学生应用估算的方法解决简单的实际问题的练习,以逐步提高学生的估算能力。

4.丰富计算能力的内涵。

计算能力不仅仅指会用笔算、口算等进行计算,以及计算得正确和迅速。它有着更为丰富的内涵,至少它还包含对口算、笔算、珠算、估算等多种计算形式的理解和掌握,以及根据具体情况采用适合的计算形式,它还应包括计算方法的合理、灵活、简便,等等,在这方面我们应该进行更多、更深入的研究。

5.适时引入计算器

计算器或计算机在数学教学中使用的意义,国际数学教育界已经有了比较一致的观点。即“计算机或计算器的使用,能代替机械性的计算,使学生把时间和精力转移到理解数学、探讨数学和应用数学上去,使数学学习变得更有趣、更容易、更广阔、更加丰富多彩。”“计算器以及口算、估算的经常性使用,可以帮助儿童发展计算的更结合实际的观点,并且使他们更加灵活地选择计算方法。”因此,笔者认为在我国小学数学中引入计算器的时机已渐成熟。但是什么时候引入比较合适,在什么范围内允许使用,这些问题都需要进一步研究。

计算器的使用有它的优越性,但是也要认识到,计算器不能代替计算的基础知识,不能代替口算和基本的笔算。如果一个学生连基本的计算方法都没掌握,他就无法对计算结果进行判断。基于此,我们可以考虑在小学中高年级引入计算器,允许学生在进行统计计算、求面积、体积计算、解答应用题和验算时使用计算器。以节省教学时间,提高正确率及学生的学习兴趣。

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主要参考资料:

1.《九年义务教育全日制小学数学教学大纲(试用)学习指导》人民教育出版社出版99年10月第1版。

2.《美国学校数学课程与评价标准》人民教育出版社出版94年12月第1版。

3.《小学数学教学论》周玉仁主编中国人民大学出版社出版99年4月第1版。

4.99年1月《课程·教材·教法》中“关于小学数学教材改革的回顾与思考”作者:刘意竹人民教育出版社出版

5.98年10月《课程·教材·教法》中“面向21世纪的小学数学课程改革与发展”作者:卢江人民教育出版社出版

 

    
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