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期末复习总动员·高中
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单导体棒在磁场中切割磁感线运动的过程与收尾问题,是一种基本而重要的电磁感应问题;由于导体棒切割磁感线运动而产生感应电流,并同时受到安培力的作用,由于导体棒的速度变化导致安培力变化,因而导体棒运动过程中的加速度将发生相应变化;当导体棒加速变为0后必将作匀速直线运动,我们将其此时的速度称作“收尾速度”;当在一定条件下导体棒最终将作匀变速直线运动时,我们将其不变的加速度称作“收尾加速度”;下面我们从实例来分类讨论此专题中的“收尾速度”与“收尾加速度”的分析方法。

一、“单杆”的收尾速度与动态过程的评析

1.〖基本题型〗如图1U形光滑导线框架宽L=1米与水平面成θ=300角倾斜放置在与框面垂直向上的匀强磁场中,磁感应强度B=0.2T;在框架上垂直框边放一根质量,电阻的导体棒ab;图中定值电阻的值为,导体框架的电阻不计。现将ab棒从静止释放让它沿框架无摩擦下滑,设框架足够长且取。求ab棒运动的最大速度VM=

【分析】由于ab棒的重力作用当释放时,ab棒必沿框架向下加速运动而切割磁感线产生感应电流,由右手定则知ab中的电流方向必从ba流动;那么棒在磁场中必同时受到安培力作用,由左手定则可确定出安培力F的方向必沿框面向上,故ab棒的受力情况如图2示。ab棒的运动与变化为:

当棒的加速度为0时即达到最大速度VM。故对棒达最大速度VM的状态有,解之得VM=10m/s

拓展一:将磁场方向改成竖直向上,且ab棒与框架间的动摩擦因数为μ=0.2,则ab棒的最后运动速度大小又为多少?

分析:ab棒释放后在重力作用下必沿框架向下加速运动而在回路中产生感应电流,故棒运动中的受力如图3示。由前分析知当棒受合力为0时必有最大速度故有:

式中表示ab棒运动速度与B垂直的分速度

。将数据代入上式得棒的最后运动速度为

点评:在计算感应电动势时注意BLV必须两两正交时才能用E=BLV,否则要对BV进行分解处理;在作安培力的方向时注意F⊥BF⊥I

拓展二:对棒运动过程中的任一状态的分析:在“拓展一”中当棒的运动速度为时棒的加速度为多少?

分析:图3中棒的感应电动势为E=BLV=BLVcos300=1V,故回路中的电流为,那么棒此时受到的安培力大小为F=BIL=2N且其方向水平向右如图3示。故在垂直于框面的方向上有,故摩擦力为,再对沿框面方向有

附:我们也可对“拓展一”中棒的加速度为时的速度分析(略)

拓展三:用功能原理处理棒的运动过程与最终状态。在“拓展一”的条件中当棒ab的速度从V=1m/s加速到V/=5m/s的过程中,电阻R放出的焦耳热为0.5J,框架与棒由于摩擦而增加的内能为2J,求棒在框架上滑动的距离为多少?

分析:由于导体棒的重力作其沿框面运动的动力,故该动力所做的功一部分用来增加棒的动能、一部分用来克服滑动摩擦力做功、一部分用来克服安培力做功;所以电磁感应的功能原理可以表述为:W外动。式中:

W外动表示棒所受到的使其相对于磁场运动的外动力对棒所做的功;

EK表示棒动能的增加量(当棒处于加速运动中时 ,当棒处于最后匀速直线运动时 );

表示棒克服安培力所做的功(当棒处于加速运动中时安培力为变力其做功的计算比较难,中学阶段不直接讨论;当棒做匀速直线运动中时在纯电阻电路中,式中BLV必须两两正交,R为整个回路的总电阻);

表示棒运动中克服摩擦力做的功,摩擦力为恒力时计算;

表示棒运动中克服除摩擦阻力、安培阻力外的其它阻力所做的功。

分析:对动态过程的分析:棒运动中受力如图3示,设棒运动距离为S;由于重力做动力故W外动=mgScos600;由于克服安培力做的功转化成全电路的焦耳热即,此过程中外电阻R放出的焦耳热为0.5J故棒的电阻r=0.08Ω所放出的热必为2J,故;此外没有其它外部阻力。现将各式代入功能原理中有:mgScos600=12m+2.5+2,解之S=3.525米。

对最终状态的分析:对“拓展一”最后速度也可用功能原理求解:设最后速度为V,W外动mgVtcos600;△EK0其中;将此四项代入功能原理仍可得

拓展四:用平均力处理动态过程中的相关问题:在“〖基本题型〗”中当棒从静止释放沿框面下滑的高度为2米时棒的速度增加为5m/s,则此过程经历了多少时间?

分析:棒运动中受力如图2示,由于安培力随速度而变化即为变力,故我们用安培力的平均值来处理此过程;设棒在此过程经过的时间为t,故此过程中感应电动势的平均值由法拉第电磁感应定律有,故 ,故安培力的平均值为;再对ab棒用动量定理有 ,将F及题目中的各已知量代入此式有

拓展五:含电源的动生感应问题:在“〖基本题型〗”中若只将外电阻R换成一个电动势为ε=2V、内阻r=0.02Ω的电池,题目中其他条件不变,如图4示;求棒由静止释放后所能达到的最大速度?

分析:棒释放后受重力与电池电流的安培力作用而向下加速运动,同时棒又切割磁感线产生一个感应电动势,由右手定则知棒产生的感应电动势与电池的电动势方向相反而使棒所受到的总的安培力减少,但安培力与棒的重力仍使棒的速度不断增大;当达到棒中的电流为0时棒仍受重力作动力而继续加速向下运动;此后棒产生的感应电动势大于电池的电动势而使棒中的电流方向变成从ba,故此后所受磁场的安培力必阻碍棒的运动;当棒受合力为0时达到最大速度。此时棒受力如图2示;

点评:注意感应电动势与电池电动势的方向关系及计算中的正、负关系。

拓展六:含电容器的动生感应问题:在“〖基本题型〗”中若只将外电阻R换成一个的电容器,如图5示,题目中其它条件不变,求棒从静止释放沿框面下滑8米时的速度及所经历的时间?

分析:棒ab释放后在重力作用下加速沿框面下滑而切割磁感线产生感应电动势E对电容器充电,从而形成从ba的充电电流;设棒从静止开始运动t时间时的加速度为a,则t时刻电路中的充电电流为;又此时故棒受力情况如图2示。对该时刻由牛顿第二定律有 ;由此式可见,B、L、C、m一定,则加速度一定,故棒ab必作匀加速直线运动而沿框面下滑;其加速度为。那么棒从静止匀加速下滑8米时的速度为,故V=8m/s;此过程所经历的时间为。且电路中的充电电流为

拓展七:导体棒的恒定功率拉动问题:在〖基本题型〗中若给导体棒ab作用一个沿框面向上的外力使棒沿框面向上运动,运动中保证外力的功率不变,结果测出ab 棒最后以速度20m/s匀速度运动;已知棒从静止开始经过时间1.2s沿框面运动s=10m时的速度为10m/s,求该过程中电路产生的焦耳热能。

分析:棒在向上的拉力作用下向上运动中,由于拉力的功率不变,故随棒速度的增大拉力将逐渐减小即拉力为变力,棒受力如图6示,当棒受到的合力为0时棒的速度最大为v=20m/s,则此时拉力大小为:;那么拉力的功率P为:。对棒从静止开始到10m/s的过程用功能原理有:W外动=Pt=288J,将各数据代入功能原理W外动

二、“单杆”的收入尾加速度及过程评析

1.由容器的充电来维持的加速收尾

2.如图21U形光滑导线框架宽L=1米与水平面成θ=300角倾斜放置在竖直向上的匀强磁场中,磁感应强度B=0.2T;在框架上垂直框边放一根质量,电阻的导体棒ab;图中一个的电容器连接在框架上,导体框架的电阻不计。现将ab棒从静止释放让它沿框架无摩擦下滑,设框架足够长且取。求

棒从静止释放后将作什么运动,最终的加速度多少?

棒从静止释放沿框面下滑9.854米时的速度及所经历的时间?

分析:(1)棒ab释放后在重力作用下加速沿框面下滑而切割磁感线产生感应电动势E并对电容器充电,从而形成从ba的充电电流;根据左手定则可以确定出棒所受到的安培力的方向及导体棒的受力如图22示;开始棒的速度小、电动势小,充电电流小、安培力小,在重力作用下速度不断增大、电动势增大、充电电流增大、安培力增大,那么导体棒将如何运动呢?不外乎以下四种情况:设导体棒作匀速直线运动:因棒匀速运动故其所受三力之合必为0即沿框面方向上有,但当棒匀速运动时其切割磁感线运动而产生的电动势为定值,故电容器不形成充电电流,因而导体棒将没有受到安培力作用而将沿框面向下匀加速直线运动,故这种假设是不成立的;所以棒最终不可能作匀速直线运动。设棒作加速度减小的加速直线运动:因棒作加速度减小的加速运动,即得运动中棒所受安培力F必增大,故说明棒运动中电容器的充电电流增大;再由此时电流却得出由于棒加速度减小故电容器的充电电流将减小,这与前面的分析结果矛盾;所以棒作加速度减小的加速运动的假设是不成立的。设棒作加速度增大的加速直线运动:同“”分析有电容器的充电电流减小;再由此时电流却得出由于棒加速度增大故电容器的充电电流将增大,所以棒不可能作加速度增大的加速直线运动。由此可见:导体棒必作匀加速直线下滑。设棒运动的加速度为由图12受力及牛顿定律有,再由得出,式中B、L、C、m一定故加速度一定即

2)棒从静止以作匀加速直线运动经过9.854米的速度为,经历的时间

2.由电阻的相应变化来维持的匀加速收尾过程

3.图3ABCD是两根特制的完全相同的电阻丝,竖直固定在地面上,上端用电阻不计的导线连接,两电阻丝间距为L,有一根质量为电阻不计的金属棒跨在AC两点间的轴原点处,并与电阻丝接触良好且无摩擦,空间有垂直纸面向里的匀强磁场B,释放金属棒后它将向下滑动。求(1)若电阻丝的阻值跟位移的平方根成正比,即,试用假设法证明棒的下滑是匀变速直线运动;(2)在棒作匀加速直线运动时若。求

a:棒的加速度的大小;

b:棒下落1米位移过程中流过的电量q

c:棒下落1米位移过程中电阻上的电功。

分析:(1)棒从静止释放后受重力而加速下落,速度增大、棒切割磁感线产生的电动势增大,但连入电路中的电阻线长度也增大,故电路中电阻增大,因而电路中的电流及安培力的变化不便简单判定;对棒下落中的任一时刻将有假设棒作匀速直线运动:则棒运动的加速度,即,式中BLVmk均为定值故位移必为定值;但由于棒的向下匀速运动将使位移随时间而变化;故二者矛盾而说明棒不可能匀速直线运动。假设棒作加速度增大的加速下落:由前知必有减小,故棒的加速度最终将增大为,此时必有,由于BLx均不为0为常数,故表明当棒的加速度时棒的速度;但由于棒运动中同向故棒的速度将不断增大;二者矛盾而说明棒不可能作加速度增大的加速直线运动。假设棒作加速度减小的加速下落:必有增大,故棒的加速度最终将减小为时棒以而匀速直线运动;但由于棒运动中将不断增大而使棒速度变化;故二者矛盾而说明棒不可能作加速度减小的加速直线运动。由此可见:导体棒必作匀加速直线下落。

2a:将数据代入;再因棒匀加速运动故有,将式代入,解之得棒的加速度为

b:棒匀加速下落1米位移过程中流过的电量为,其中

c:棒下落中电路中电阻相应增大,因而其消耗的电能应当从能量的转化与守恒定律得出:,则,故此过程中电阻上的电功为

3.由外力的变化维持的匀变速收尾过程

4.图4中二相互平行的光滑金属导轨位于水平面内,间距,在导轨的一端接有阻值为的电阻;在区域有一与水平面垂直的均匀磁场;一质量为的金属杆垂直放置在导轨上并以的初速度进入磁场中,在安培力及垂直于杆的水平外力F共同作用下做匀变速直线运动,加速度大小为方向与初速度方向相反;设导轨及金属杆的电阻均不计且接触良好。求:

1)电流为0时金属杆所处的位置?

2)电流为最大值的一半时施加在金属杆上外力F的大小及方向?

3)保持其他条件不变而初速度取不同值,则开始时外力F的方向与初速度取值的关系?

分析:由题意知杆必向右作匀减速直线运动到速度为0后再向左作匀加速直线运动直到离开磁场区域,故电流为0时表示杆的速度为0

1)杆向右匀减速直线运动的位移为

2)杆的运动速度变化时电路中的电动势变化,故电流相应变化,由电动势有杆运动的速度最大则电路中感应电动势最大、电流最大,即最大电流必为;当电流为最大值的一半时即时:

若此时杆向右运动,则外力方向不定,我们假设外力F水平向右由牛顿定律有,故杆向右运动中外力F大小为0.18N方向水平向左;若此时杆向左运动,则外力F方向必水平向左且有代入数据得

3)杆开始运动时速度为,则电动势为,故安培力为;那么对杆由牛顿定律有

时,表示外力F方向与X轴正方向相反;

时,表示外力F方向与X轴正方向相同。