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期末复习总动员·高中
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在物理过程的进行中,当其中的某物理量的取值达到或满足一定条件时,将会引起物理过程的进行发生本质的改变,将这一定条件称作物理过程进行中的临界条件。物理过程中的临界条件往往代表着物理过程的一个转折点或临界状态,是解答涉及临界状态的物理问题的一个重要依据;本文就来探究几类动力学中的临界问题的解锁条件。

一、二物体间是否有垂直于接触面方向相对运动的题锁条件

由二物间接触面上的弹力N来决定:

【例1】一个弹簧秤放在水平地面上,Q为与轻弹簧上端连在一起的秤盘,P为一重物;已知P的质量Q的质量,弹簧的质量不计且劲度系数,系统处于静止图1示;现给P施加一个方向竖直向上的力F使它从静止开始向上做匀加速运动,已知在前0.2秒时间内F为变力,0.2秒以后F为恒力;求F的最大值与最小值?

[解析]由于力F作用于物体P并使其向上作匀加速直线运动,故物体P最终必将离开秤盘Q;在物体P与盘Q分离前PQ系统向上作匀加速直线运动,故PQ系统受重力、弹力及拉力F之合必竖直向上且大小不变;随PQ系统向上的运动,弹簧对系统的向上弹力在逐渐减小,为了维持PQ系统向上的加速度不变,则拉力F必将不断增大;因而当物体P开始向上运动时拉力F必为最小,当物体PQ刚分离时拉力F必为最大;设最初系统静止时弹簧被压缩了,由平衡条件可得;设系统向上以加速度作匀加速直线运动,经过0.2秒时物体PQ共同向上的位移,故此时弹簧被压缩了米,则弹簧的弹力;由于0.2秒时刻以后F为恒力,故在0.2秒时PQ必恰好分离,表明0.2秒时PQ二物体间的弹力N=0,那么此时PQ二物的受力如图1-1示,对物体PQ、将代入前式解之得,再将km的值代入得到系统向上的加速度为;那么当物体P开始向上运动时拉力F必为最小,此时弹簧向上的弹力与PQ系统的重力之合为0而只有拉力F产生,故;当物体PQ刚分离时拉力F必为最大,此时F只作用于P即有

【例2】如图2所示,倾角的光滑斜面小车上用平行于斜面的细线系一个质量为m的物体,当小车在水平面上的水平向左加速度在什么范围内时,物体与小车必相对静止?

[解析]设物体与小车共同向左的加速度为,则物体受力图2示由牛顿第二定律有…………①;当加速度太大时物体可能将飞离斜面,故要使物体与斜面在垂直于斜面方向不分开的约束条件为……②;由①式消去F解之得代入②得

练习1:如图练1所示,顶角为的光滑圆锥上用平行于锥面的长L的细线悬挂一质量为m小球,当小球与圆锥绕其竖直轴匀速转动的角速度在什么条件时小球相对圆锥静止?

提示:

二、二物体间是否有沿接触面方向的相对运动的题锁条件(一)

由物体接触面间的实际静摩擦力与最大静摩擦力的大小关系来决定

【例3】图3示质量为的物体A放置于质量为M的物体B上,B与弹簧相连,它们一起在光滑水平面上作简谐振动,设AB间动摩擦因数为μ,弹簧的劲度系数为;求①AB系统共同作简谐振动的最大振幅X?②当将物体B向右拉到离开平衡位置的位移为2x处由静止释放,则释放时AB的加速度各多少?

[解析]①将AB从图示平衡位置移动位移时,则弹力作系统的回复力,此时系统的加速度由,要使AB共同作简谐振动即必须使二物体保持相对静止,则二物体间的实际静摩擦力必小于或等于二物体间的最大静摩擦力,即故可得,即最大振幅为

②当将物体B向右拉到离开平衡位置的位移为2X处由静止释放,则释放时AB必发生相对滑动,故BA的滑动摩擦力大小为,因而A物体的加速度大小为;物体B必受到向左的弹力AB向右的滑动摩擦力,故B受到的合力大小为,则物体B的加速度大小为

【例4】如图4所示,倾角为的斜面与物体间的动摩擦因数为,物体质量m,当系统在水平方向的加速度满足什么条件时物体与斜面始终保持相对静止?设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。

[解析]由于动摩擦因数未知,故要对分别进行讨论;

1)当时系统有向左加速度或向右的加速度均能使二物体保持相对静止:当系统有向左的加速度时物体m必不可能向下滑动,故只要物体不沿斜面上滑即可,此时物体受力图4-1示,由牛顿第二定律有,要使物体不沿斜面向上滑动的约束条件为;由二式得即有

当系统有向右加速度时物体m必不可能沿斜面向上滑,故只要物体不沿斜面下滑即可,此时物体受力图4-2示,由牛顿第二定律有,要使物体不上滑的约束条件为;即

可见:(1)当时系统水平方向的加速度条件为

2)当时系统若有向右的加速度,则物体m必沿斜面下滑;故要使物体与斜面相对静止则系统只能有水平向左的加速度,且物体只可能有沿斜面向上滑动的可能,故其受力如图4-1示;分析同“1)”得

3)当时若斜面不动则物体m必将沿斜面下滑,故要使物体与斜面保持相对静止则系统只能有水平向左的加速度,且物体将相对斜面有向上滑或向下滑的可能;

当物体相对斜面有向下滑趋势时,物体受力图4-2示,由牛顿第二定律有,要使物体不下滑则,二式共同解之有

当物体相对斜面有向上滑趋势时物体受力图4-1示,,要使物体不下滑则,二式共同解之有,

可见:当时要使物体相对斜面保持静止,则系统水平向左的加速度条件为

练习2:质量m的木块放在倾角为、动摩擦因数为)的斜面上,如图练2示。现给物体施加一水平推力F使物体静止于斜面上,求推力F的大小?设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。

提示:物体有向上、向下滑两种趋势,当物体有向上滑趋势但不上滑时物受力图练2示有;当物体有向下滑趋势时图练2中的摩擦力f变为沿斜面向上,其它力方向不变有;故F的大小范围是

三、二物体间是否有沿接触面方向的相对运动的题锁条件(二)

由非弹性绳上的实际弹力T决定

而且要使线不断的条件为线上的实际弹力小于或等于线所能承受的最大力。

【例5】如图5所示,一细线一端固定于的光滑斜面顶点上另一端拴一质量为m的小球;①要使小球相对斜面静止求斜面小球系统水平向左的加速度范围?②要使小球相对斜面静止小球系统水平向右的加速度范围?③当系统有水平向左的加速度时小球受力情况?④当系统有水平向左加速度时小球的受力情况?⑤若线能承受的最大拉力为5mg,要使线不断则系统水平向左的加速度范围?

[解析]①当斜面向左加速运动时小球可能会飞离斜面,要使小球相对于斜面静止则二者必共同运动设二者水平向左的加速度大小为,小球受力如下图示。由牛顿定律有………⑴;要使小球不离开斜面的约束条件为………⑵;由⑴解出并代入⑵得

②当斜面向右加速运动时小球可能会沿斜面向上滑动,设二者共同水平向右运动加速度大小为,小球受力如图示则,要使小球相对于斜面静止的约束条件为;以上二式解之得

③当系统有水平向左的加速度时小球必受到图中的三个力作用,将代入

④当系统有水平向左的加速度时,小球必将飞离斜面而只受到重力与线的拉力F作用,其受力如图示;合力,那么线对小球的拉力的大小为,方向

⑤若线能承受的最大拉力为5mg,要使线不断则在系统有向左的加速度的运动中我们首先应当分析小球恰飞离斜面时线是否会被拉断,那么由前面分析知当系统有水平向左的加速度时小球恰好飞离斜面此时由,即表明当线上拉力达到最大值5mg时小球必定离开了斜面,故小球受力只有重力、线拉力如上图示且,故此时小球受到的合力为,则系统水平向左的加速度  

四、传送带中同向传送问题的题锁条件

物体的速度与传送带速度相等的状态即是摩擦力突变、运动状态突变的转折点;反向传送中物体的速度减小为0是运动状态的转折点。

【例6图6示传送带与水平面间倾角为θ=300,并以5m/s速度逆时针匀速运动,工件与传送带间的动摩擦因数为AB间距为7.5m;现将工件从B端轻放在传送带上,则工件由B运动到A的时间为多少?A点的速度多少?(

[解析]将工件轻放在B端时其受力如图6所示,滑动摩擦力,故工件的加速度由,故工件必从静止向上作匀加速直线运动;当工件速度达到与传送带相等即时,工件经过的位移、时间分别由:,又由;此时物体仍受到重力、支持力不变且工件与传送带相对静止,但在此二力作用下物体将有沿传送带下滑的趋势,故传送带受到了图示的静摩擦力;由于,故工件将与传送带一起以速度5m/s匀速直线运动到A端;工件匀速运动的时间为。那么工件到达A点的速度必为5m/s,由B点运动到A点的时间为

【例7】图7水平传送带以的恒定速度顺时针运动,传送带两端AB间的距离,今将一大小不计的工作以速度A滑上传送带,已知工件与传送带间的动摩擦因数,试求:(1)工件从左端A运动到右端B的时间为多少?到达B端时工件速度为多少?(取g=10m/s2

2)若让传送带以的恒定速度逆时针运动,则工件在传送带上运动的时间为多少?其离开传送带的速度为多少?

[解析]1)由于工件放上A端时的速度大于传送带的速度,即工件相对传送带向右运动,故工件必受到传送带对它水平向左的滑动摩擦力,且摩擦力根据牛顿第二定律可知工件加速度为所以工件相对于地面必向右做初速度匀减速运动;工件做匀减速运动过程经过的时间为工件做匀减速运动的位移为当工件速度等于传送带速度后二者相对静止故其间摩擦力消失,工件随传送带一起匀速运动。工件做匀速运动的时间为所以工件由左端A到右端B的时间为 到达B端时工件的速度为

2)当传送带以逆时针匀速运动时,工件滑上A端时的受力仍水平向左的滑动摩擦力,工件相对于地面必向右做初速度加速度匀减速运动;

当工件速度减小到0时经过的位移、时间:,又由;由于。故此后物体的受水平向左的滑动摩擦力作用,物体将以初速度为0、加速度为的向左匀加速直线运动;当工件的速度达到与传送带的速度相等即时工件在此过程中相对于地面的向左的时间:,位移

由于故工件后来将以随传送带共同向左匀速直线运动并从A端以离开传送带,其在传送带上的运动时间为