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22.2 二次函数与一元二次方程

教材使用

一、一元二次方程根的几何意义

突破建议:对于一元二次方程根的几何意义的理解,可以先复习用函数观点讨论一元一次方程等内容,例如画一次函数 的图象,并指出函数的图象与x轴有几个交点,交点的横坐标是什么?在这个过程中,学生体会一次函数与一元一次方程的联系,明确一元一次方程的解,用函数的观点看即其图象与x轴的交点的横坐标,这正是一元一次方程的解的几何意义.由此启发引导学生能否从二次函数的观点来看待一元二次方程.通过类比的学习方法,进一步认识一元二次方程根的几何意义,就是对应抛物线与x轴公共点的横坐标.教学中,教师要放手让学生画函数图象,通过图象的直观性帮助学生理解二次函数与一元二次方程的密切联系.

1 1)解一元一次方程;(2)画一次函数 的图象,并指出函数的图象与x轴有几个交点,交点的横坐标是什么?

解析:设计两个题目意在使学生体会一元一次方程的解,可以转化为画相应的一次函数的图象,从其与x轴交点的横坐标得到.显然(1)中方程的解为x=1,而(2)中一次函数图象与x轴唯一交点的横坐标也是1,体现两者的统一性.

2 已知二次函数的值为3,求自变量x的值

解析:本题可以转化为解方程.得其两根;而解方程就是已知二次函数的值为0,求自变量x的值.当然本题也可以通过画两个函数图象,通过其交点的横坐标得到方程的解.       

二、抛物线与x轴的三种位置关系与一元二次方程的根的三种情况的对应关系

突破建议:1.教材思考栏中的三个二次函数,分别设计了抛物线与x轴有两个交点,一个交点和没有交点的三种情况.那么其对应的方程的根的情况又如何呢?学生可以结合图象和通过运算求方程的根,明确二次函数的图象与x轴有三种位置关系:当 时,该函数图象与x轴相交(有两个交点),对应的一元二次方程有两个不等的实数根;当 时,该函数图象与x轴相切(有且仅有一个交点),对应的一元二次方程有两个相等的实数根;当 时,则该函数图象与x轴相离(没有交点),对应的一元二次方程没的实数根

2突破这一难点,可以借助信息技术手段.例如,解方程,用几何画板软件画出相应抛物线,显示抛物线与x轴的公共点的坐标,就能得出相应方程的根,如果对应的抛物线与x轴没有公共点,则说明一元二次方程没有实数根.

3 下列二次函数的图象与x轴有没有公共点?若有,求出公共点的横坐标;当x取公共点的横坐标时,函数的值是多少?

解析:(1)抛物线x轴有两个公共点,它们的横坐标是-21. 当x取公共点的横坐标时,函数值是0.由此得出方程的根是-21(函数图象与x轴有两个交点,对应的一元二次方程有两个不等的实数根);(2)抛物线x轴有一个公共点,它的横坐标是3.当x=3时,函数值是0.由此得出方程的根3(函数图象与x轴有一个交点,对应的一元二次方程有两个相等的实数根);3抛物线x轴没有公共点.由此得出方程没有实数根(函数图象与x轴有没有交点,对应的一元二次方程没有实数根).

(三)利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根

突破建议:一元二次方程根的几何意义,是指其对应抛物线与x轴的公共点的横坐标.因而可以用画二次函数的图象的方法求相应的一元二次方程的解.通过画二次函数的图象,根据其与x轴的公共点的横坐标,就可以得到一元二次方程根的近似值,为取得满足给定精确度的近似值,可以通过不断缩小根所在的范围来估计一元二次方程的根.教学中建议使用信息技术手段,例如解方程,只要用几何画板画出相应抛物线,通过度量抛物线与x轴的公共点的坐标,就能得出相应方程的根.也可以把一元二次方程化为:的形式,则方程的根,就是二次函数和一次函数的图象的交点的横坐标.通过对比两种解法,体会二次函数与一元二次方程的本质联系.

4 利用函数图象求方程 的实数根(精确到0.1).   

解析:首先画出函数的图象(图22.2-3).由图象可以看出它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.72.7.所以可得方程 的实数根为为取得满足给定精确度的近似值,可以通过不断缩小根所在的范围来估计一元二次方程的根

    
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