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人教版九年级上册222二次函数与一元二次方程一节,内容包括一元二次方程的根的几何意义;二次函数的图象与x轴的三种位置对应一元二次方程根的三种情况;利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.《义务教育数学课程标准》(2011年版)对本节课相关内容提出的教学要求是:会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.

> 《二次函数与一元二次方程》课标解读

一、课标要求

人教版九年级上册222二次函数与一元二次方程一节,内容包括一元二次方程的根的几何意义;二次函数的图象与x轴的三种位置对应一元二次方程根的三种情况;利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.《义务教育数学课程标准(2011年版)》对本节课相关内容提出的教学要求是:会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.

二、课标解读

1.本节课是在研究完二次函数的概念、二次函数的图象与性质后,从函数的角度对一元二次方程重新进行分析.这种再认识不是原来水平上的回顾复习,而是站在更高的高度上,借助变量,从静态研究动态研究转变,将不同的数学对象用二次函数统一起来认识,发挥函数对数与代数内容的统领作用.

2.一元二次方程根的几何意义是:一元二次方程的解,是其对应二次函数 的图(一条抛物线)与x轴交点的横坐标.我们可以这样理解:对于二次函数的图象与x轴交点的横坐标,可以看作是一元二次方程的解;同样对于一元二次方程的解,可以看作是二次函数的图象与x轴交点的横坐标,两者是统一的.这说明一元二次方程的解可以有其几何直观表示.这种形与数的结合,可以加深对二次函数和一元二次方程的联系认识.

3.二次函数的图象与x轴有三种位置关系:当时,该函数与x轴相交(有两个交点),对应的一元二次方程有两个不等的实数根;当时,该函数与x轴相切(有且仅有一个交点),对应的一元二次方程有两个相等的实数根;当时,则该函数与x轴相离(没有交点),对应的一元二次方程没的实数根

4.在透彻理解一元二次方程根的几何意义的基础上,就可以用二次函数的图象求相应的一元二次方程的解.通过画二次函数的图象,根据其与x轴的公共点的横坐标,就可以得到一元二次方程根的近似值,为取得满足给定精确度的近似值,可以通过不断缩小根所在的范围来估计一元二次方程的根.教学中建议使用信息技术手段,例如解方程,只要用几何画板画出相应抛物线,显示抛物线与x轴的公共点的坐标,就能得出相应方程的根.也可以把一元二次方程化为:的形式.则方程的根,就是二次函数和一次函数的图象的交点的横坐标.

5.本节内容,无论是已知函数值求自变量的值,二次函数的图象与x轴的三种位置对应一元二次方程根的三种情况,还是利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解等,都十分突出地体现了建模思想和数形结合思想.教学中,一方面要帮助学生完成好从对图象的描述到对函数变化情况的描述的转换,发挥好几何直观的作用;另一方面,应该引导学生充分体会其中蕴含的数学思想方法,进而让学生逐步学会数学地思考,增强学好数学的信心.

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